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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第1课时圆的标准方程 核心必知1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径2圆的标准方程(1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.(2)当圆心在原点时，圆的方程为x2y2r2.3中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.问题思考1若圆的标准方程为(xa)2(yb)2t2(t0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标为(a，b)，半径为|t|.2由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径讲一讲1写出下列各圆的标准方程
2、(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，1)且过原点尝试解答设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.(1)圆心在原点，半径为8，即a0，b0，r8，圆的方程为x2y264.(2)圆心为(2,3)，半径为2，即a2，b3，r2，圆的方程为(x2)2(y3)24.(3)圆心在(2，1)且过原点，a2，b1，r.圆的方程为(x2)2(y1)25.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程练一练1求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(2，2)，且过点(6,3)；(2)过点A(4，5)，B(6，1)且以线段AB为直径；(3
3、)圆心在直线x2上且与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)解：(1)由两点间距离公式，得r，所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，3)又|AB|2，半径r.所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，3)，半径r，圆的方程为(x2)2(y3)25.讲一讲2已知两点P1(3,6)，P2(1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？尝试解答由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r|P1P2|2.所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(21)
4、2(24)258，(51)2(04)2328，(31)2(24)28，点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上判定点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0a)2(y0b)2r2；若点M在圆C外，则有(x0a)2(y0b)2r2；若点M在圆C内，则有(x0a)2(y0b)2r2.练一练2已知点A(1,2)在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围解：点A在圆内部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，a的取值范围是.讲一讲3求圆心在直线l：2xy30上，且过点A(5,2)和点B(3，2)的圆的方程尝试解答法
5、一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为y(x4)，由解得即圆心C的坐标为(2,1)r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值(3)代入标准方程，得出结果练一练3求圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程解：设所求圆方程为(xa)2(yb)2r2.圆与两坐标轴相切，圆心满足ab0或ab0，又圆心在直线5
6、x3y8上，5a3b8.解方程组或得或圆心坐标为(4,4)或(1，1)可得半径r|a|4或r|a|1.所求圆方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.已知实数x，y满足(x2)2y23，求x2y2的最大值和最小值巧思x2y2可以看成圆(x2)2y23上的点到原点的距离的平方妙解方程(x2)2y23表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，x2y2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，半径为，故(x2y2)max(2)274.(x2y2)min(2)274.1圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方
7、程是()Ax2y225 Bx2y25C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225解析：选C半径r5，圆的方程是(x3)2(y4)225.2点A(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da1解析：选A点A(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部(1a)2(1a)24，解得1a1.3已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252解析：选A设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心
8、(2，3)为直径中点，即A(4,0)，B(0，6)r|AB|.圆的标准方程为(x2)2(y3)213.4圆C：(x2)2(y1)2r2(r0)的圆心C到直线4x3y120的距离为_解析：由圆C的方程知圆心C的坐标为C(2，1)，再由点到直线的距离公式得：d.答案：5圆心在y轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为_解析：由题意可设圆的方程为x2(yb)225.则将(0,0)坐标代入，得b225，b5.所求圆的方程为x2(y5)225或x2(y5)225.答案：x2(y5)225或x2(y5)2256如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(
9、1,1)在AD边所在直线上(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程解：(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3.又因为点T(1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由解得点A的坐标为(0，2)因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又|AM| 2.从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28.一、选择题1已知圆C：(x2)2(y3)24，则P(3,2)()A是圆心B在圆C外C在圆C内 D在圆C上解析：选C由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r2，
10、故排除A.又|PC|2r，P在圆C内部2圆(x3)2(y4)21关于直线xy0对称的圆的方程是()A(x3)2(y4)21B(x4)2(y3)21C(x4)2(y3)21D(x3)2(y4)21解析：选B对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于xy0的对称点作为圆心即可已知圆的圆心(3，4)关于xy0的对称点(4，3)为所求圆的圆心，所求圆的方程为(x4)2(y3)21.3在方程(x1)2(y2)2m29(mR)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是()A(1,2)，3 B(1，2)，3C(1,2), D(1，2), 解析：选B当m0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，2
11、)4方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆解析：选D由y，知y0，两边平方移项，得x2y29.原方程等价于表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分5设M是圆(x5)2(y3)29上的点，则M到3x4y20的最小距离是()A9 B8C5 D2解析：选D圆心(5,3)到直线3x4y20的距离d5，所求的最小距离是532.二、填空题6圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程为_解析：法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2.则解得所求圆的方程为(x4)2y25.法二：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的中垂线上AB中垂线的方程为y(x4
12、)，令y0，得x4.即圆心坐标C(4,0)，r|CA| ，所求圆的方程为(x4)2y25.答案：(x4)2y257已知圆C1的方程(x3)2(y2)25，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为_解析：由圆C1的方程知圆心C1(3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(3,2)可设C2的方程为(x3)2(y2)2r2.又由C2过点A(5,0)，所以(53)2(02)2r2，r268.故圆C2的方程为(x3)2(y2)268.答案：(x3)2(y2)2688设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一点，则的最大值为_解析：理解的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1,1)的距离因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，因此表示点(1,1)与该圆上点的距离易知点(1,1)在圆x2(y4)24外，结合图易得的最大值为22.答案：2三、解答题9已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解：(1)PQ的方程为xy10.PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆
