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1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 -知识讲解(基础)【学习目标】1了解圆心角、圆周角的概念；2理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1圆心角定义如图所示，/ AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们
2、所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释：(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提要点二、圆周角1圆周角定义：像图中/ AEB、/ ADB、/ ACB这样的角，它们的顶点在圆上， 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中4圆内接四边形：（1）定义：圆
3、内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.（2 ）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）5弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等 （即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相 等）*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用如图，在O 0中，匚二一.【答案与解析】v AS=AC, AB 三 AC. ZS=ZC = 70= 180+ZC；） = 40 .【总结
4、升华】 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所 对的弦也相等.举一反三：【变式】如图所示，厂 中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】（同为优弧或同为劣弧）也相等）证法1：v AB=CD ,_ 二（在同圆中，相等的弦所对的弧 - - AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2:如图，连接OA , OD , OB , OC , AB=CD二(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)一1 工 _ 二三 一 _匸一匸口 _【一_ AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周
5、角？【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：顶点在圆上；两边都和圆相交【答案与解析】/ 1顶点在O O内，两边与圆相交，所以/ 1不是圆周角;(b) /2顶点在圆外，两边与圆相交，所以/2不是圆周角；3、/ 4、/ BAD是圆周角.(c) 图中/ 3、/ 4、/ BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以/(d) / 5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以/5不是圆周角;(e) / 6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知/6不是圆周角【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角.AB为O O的直径，动点P在O O的下半圆,定点Q在O O的上半圆，设/ POA=x/
6、PQB=y。，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式QP【答案与解析】解法1：如图所示，/ AB 为O O 的直径，/ AOP=x / POB=180 -x =(180-x) 又二.- - I 11 -:/. y = 90- 土忑(其中Q x 180)解法2：如图所示，连结 AQ ,=S又 AB是O O的直径, / AQB=90ZPQB = 90-ZAQP = （90-y）0 y 二 90 藍（其屯呂Q）【总结升华】考查圆周角定理的应用.如图,么关系?AB是O O的直径,BD是O O的弦，延长 BD到C,使AC=AB , BD与CD的大小有什为什么?【思路点拨】连结AD ,易证/ A
7、DB=90。，即AD是等腰三角形 ABC的高.再由三线合一的性质得出 BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接 AD/ AB是O O的直径/ ADB=90。即 AD 丄 BC 又 AC=AB , BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个 ABC是等腰三角形，要证明 D是BC的中点，只要连结AD ,证明AD是高或是/ BAC的平分线即可.举一反三:【变式】如图，已知O O的弦AB、CD相交于点E,的度数为60,的度数为100,则/ AEC等于（）A. 60 D. 130B. 100C. 80【答案】C.（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考, 感谢您的配合和支持）
