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1、质 点 运 动 学1-1质点作曲线运动，在时刻t质点的位矢为r,速度为v，速率为v,t至(t + At)时间内的 位移为X,路程为0,位矢大小的变化量为X (或称A | r | )，平均速度为v，平均速率 为v .(1)根据上述情况，则必有()(A) | A | =弥=Ar(B) |A |金丝w四,当 &-0时有|dr |=ds* d(C) |r |丰区也，当N 0时有|dr |=dr*d(D) |wAsw A,当 &一0时有|dr |=dr= ds(2)根据上述情况，则必有()(A)Iv I= v,I v | = v(B)|v| 沟，|v|wV(C)Iv I= v,I v I * v(D)I
2、vI v,Iv|=v分析与解(1)质点在t至(t + At)时间内沿曲线从P点运动到P点，各量关系如图所示其中路程 弥=PP位移大小| A | = PP而女=| r | - | r |表示质点位矢大小的变 化量，三个量的物理含义不同，在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的 可能).但当N0时，点P无限趋近P点，则有| dr | = ds,但却不等于dr.故选(B).(2)由于| N |丰公，故电，即 v | / .At及由此可见，应选(C).一 .一一 dr但由于| dr | = ds,故一 dt1-2 运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见，即dr
3、不dlrl .dt2dydt下述判断正确的是( (A)只有(1)(2)正确(C)只有(2)(3)正确(B)只有(2)正确(D)只有(3)(4)正确分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，在极坐标系中叫径向速 dt率.通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；曳表示速度矢量；在dt自然坐标系中速度大小可用公式v 空计算,在直角坐标系中则可由公式 dt22v Jdx祟求解故选(D).1 -3 一个质点在做圆周运动时，则有()(A)切向加速度一定改变，法向加速度也改变(B)切向加速度可能不变，法向加速度一定改变(C)切向加速度可能不变，法向加速度不变(D)切向加速度一定改变，
4、法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量at起改变速度大小的作用，而法向分量an起改变速度方向 的作用.质点作圆周运动时，由于速度方向不断改变，相应法向加速度的方向也在不断改 变，因而法向加速度是一定改变的.至于a，是否改变，则要视质点的速率情况而定.质点 作匀速率圆周运动时,at包为零；质点作匀变速率圆周运动时,at为一不为零的恒量，当a t改变时，质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见，应选(B) .1-4质点的运动方程为式中x,y的单位为m,t的单位为s .试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度
5、和加速度的大小和方向.解(1)速度的分量式为当t =0时，v0x =-10 m s -1 , voy =15 m s -1，则初速度大小为41设V0与x轴的夹角为a则a= 123dV y -240 msdt(2)加速度的分量式为ax v 60 m s2 , ay dty则加速度的大小为设a与x轴的夹角为3则片-330 41或326 19)1 -5质点沿直线运动，加速度a=4 -t2，式中a的单位为m- s -2，珀勺单位为s .如果当t =3 s时,x= 9 m,v =2 mi s -1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件= v(t
6、),下用积分方法解决.由a dv和v 名可得dv adt和dx vdt ,如a = a(t)或v dt dt则可两边直接积分.如果a或v不是时间t的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解由分析知，应有1 2 得v 4tt v0(1)3,xt由dx vdtx0得x 2t2 14 v0t x012将t=3 s 时,x=9 m,v = 2 m s -1 代入（1）、（2）得v0 = -1 ms-1, x0= m于是可得质点运动方程为1 -6飞机以100 m -s -1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100 m时,驾驶员要把物 品空投到前方某一地面目标处，问：（1）此时目标在
7、飞机正下方位置的前面多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？题1-13图分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下，由运动独立性原理知，物品在空 中沿水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时，两方向上 运动时间是相同的.因此，分别列出其运动方程，运用时间相等的条件，即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度. 为求特定时刻t时物体的切 向加速度和法向加速度，只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角 域就由图可知， 在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 风可由
8、此时刻的两速度分量Vx、Vy 求出,这样,也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得.解（1）取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为2x = vt, y = 1/2 gt飞机水平飞行速度v=100 m s-1，飞机离地面的高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞 机正下方前的距离（2）视线和水平线的夹角为（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标，物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为11 -7 一质点沿半径为R的圆周按规律s vt 1bt2运动,V0、b都是常量.（1）求t时 2刻质点的总加速度；（2） t为何值时总加速度在数值上等于b? （3
9、）当加速度达到b时， 质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中，s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s（t）,对时间t求一阶、二阶导数，即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量a，而加 速度的法向分量为an=v2 /R.这样，总加速度为a =atet+an&.至于质点在t时间内通 过的路程，即为曲线坐标的改变量Ast -so,因圆周长为2卡,质点所转过的圈数自然可 求得.解（1）质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为atd2s dt222v (Vo bt) an R R故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为（2）要使 | a | = b,由-1jR
10、2b2 （vo bt）4 b 可得 R（3）从t=0开始到t=v0 /b时质点经过的路程为 因此质点运行的圈数为1 -8 一升降机以加速度 m-s-2上升,当上升速度为 ms-1时，有一螺丝自升降机的大 花板上松脱，天花板与升降机的底面相距m.计算：（1）螺丝从天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下，一种处理方法是取地面为参考系，分 别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动，列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程yi =yi（t）和y2 = y2（t）,并考虑它们相遇，即位矢相同 这一条件，问题即
11、可解；另一种方法是取升降机（或螺丝）为参考系，这时，螺丝（或升降机） 相对它作匀加速运动，但是，此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝（或升降机）运动的路程.解1 （1）以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为 当螺丝落至底面时，有y1 =y2，即（2）螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 （1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小a= g + a,螺丝落至底面时， 有（2）由于升降机在t时间内上升的高度为则d h h 0.716 m题1-8图1 -9 一无风的下雨天，一列火车以vi= ms-1的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻 璃窗外的雨滴和垂
12、线成75角下降.求雨滴下落的速度V2 .（设下降的雨滴作匀速运动） 题1-19图分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S，火车为动参 考系S vi为S相对S的速度,V2为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系即 可解.解 以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1，雨滴相对地面竖直下落的速 度为V2，旅客看到雨滴下落的速度V2为相对速度，它们之间的关系为V2 V2 V1 （如图 所示），于是可得1 -10如图（a）所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为vi，下落雨滴的速度方向偏于竖 直方向之前8角,速率为v2若车后有一长方形物体，问车速vi为多大时，此物体正好不会
13、 被雨水淋湿？分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象，地面为静参考系S，汽车为动 参考系S .如图（a）所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向（即雨点相对于 汽车的运动速度v2的方向）应满足a arctan -.再由相对速度的矢量关系v2 v2 v1, h即可求出所需车速vi.题1-20图解由v2 v2 Vi 图(b)，有而要使民arctanL,则 h1-11用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当FN逐渐增大时，物体所受的静摩擦力Ff的大小()(A)不为零，但保持不变(B)随Fn成正比地增大(C)开始随Fn增大，达到某一最大值后，就保持不变(D)无法确
14、定分析与解 与滑动摩擦力不同的是，静摩擦力可在零与最大值 /n范围内取值.当Fn增 加时，静摩擦力可取的最大值成正比增加，但具体大小则取决于被作用物体的运动状 态.由题意知，物体一直保持静止状态，故静摩擦力与重力大小相等，方向相反，并保持不 变，故选(A).1-12 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为的要 使汽车不至于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率()(A)不得小于vgR(B)必须等于VgR(C)不得大于(D)还应由汽车的质量m决定分析与解由题意知，汽车应在水平面内作匀速率圆周运动，为保证汽车转弯时不侧向 打滑，所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供，
15、能够提供的最大向心力应为 Fn.由此可算得汽车转弯的最大速率应为v= 11 Rg因此只要汽车转弯时的实际速率不 大于此值，均能保证不侧向打滑.应选(C).1-13 物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，则()(A)它的加速度方向永远指向圆心，其速率保持不变(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C)它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心(D)它受到的合外力大小不变，其速率不断增加分析与解 由图可知，物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨 道中心的轨道支持力Fn作用，具合外力方向并非指向圆心，其大小和方向均与物体所在 位置有关.重力的切向分量(m gcos )使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可 判断)，则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大，由轨道法向方向上的动力2学方程Fn mgsin 9 m可判断，随9角的
