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1、粒子群算法(1)-粒子群算法简介二、粒子群算法的具体表述 上面罗嗦了半天，那些都是科研工作者写论文的语气，不过，PSO的历史就像上面说的那样。下面通俗的解释PSO算法。 PSO算法就是模拟一群鸟寻找食物的过程，每个鸟就是PSO中的粒子，也就是我们需要求解问题的可能解，这些鸟在寻找食物的过程中，不停改变自己在空中飞行的位置与速度。大家也可以观察一下，鸟群在寻找食物的过程中，开始鸟群比较分散，逐渐这些鸟就会聚成一群，这个群忽高忽低、忽左忽右，直到最后找到食物。这个过程我们转化为一个数学问题。寻找函数 y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在0,4最大值。该函数的图形如下：当x=0.9350-0
2、.9450，达到最大值y=1.3706。为了得到该函数的最大值，我们在0，4之间随机的洒一些点，为了演示，我们放置两个点，并且计算这两个点的函数值，同时给这两个点设置在0，4之间的一个速度。下面这些点就会按照一定的公式更改自己的位置，到达新位置后，再计算这两个点的值，然后再按照一定的公式更新自己的位置。直到最后在y=1.3706这个点停止自己的更新。这个过程与粒子群算法作为对照如下：这两个点就是粒子群算法中的粒子。该函数的最大值就是鸟群中的食物计算两个点函数值就是粒子群算法中的适应值，计算用的函数就是粒子群算法中的适应度函数。更新自己位置的一定公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。下面演示一
3、下这个算法运行一次的大概过程：第一次初始化第一次更新位置第二次更新位置第21次更新最后的结果（30次迭代）最后所有的点都集中在最大值的地方。粒子群算法(2)-标准的粒子群算法在上一节的叙述中，唯一没有给大家介绍的就是函数的这些随机的点（粒子）是如何运动的，只是说按照一定的公式更新。这个公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。下面就介绍这个公式是什么。在上一节中我们求取函数y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在0,4最大值。并在0,4之间放置了两个随机的点，这些点的坐标假设为x1=1.5； x2=2.5；这里的点是一个标量，但是我们经常遇到的问题可能是更一般的情况x为一个矢量的情况，比如二
4、维的情况z=2*x1+3*x22的情况。这个时候我们的每个粒子为二维，记粒子P1(x11,x12),P2=(x21,x22),P3=(x31,x32)，.Pn=(xn1,xn2)。这里n为粒子群群体的规模，也就是这个群中粒子的个数，每个粒子的维数为2。更一般的是粒子的维数为q，这样在这个种群中有n个粒子，每个粒子为q 维。 由n个粒子组成的群体对Q维（就是每个粒子的维数）空间进行搜索。每个粒子表示为：xi（xi1,xi2,xi3,.,xiQ），每个粒子对应的速度可以表示为vi=(vi1,vi2,vi3,.,viQ)，每个粒子在搜索时要考虑两个因素：1。自己搜索到的历史最优值 pi ，pi=(p
5、i1,pi2,.,piQ)，i=1,2,3,.,n。2。全部粒子搜索到的最优值pg，pg=(pg1,pg2,.,pgQ)，注意这里的pg只有一个。下面给出粒子群算法的位置速度更新公式： 这里有几个重要的参数需要大家记忆，因为在以后的讲解中将会经常用到：它们是：是保持原来速度的系数，所以叫做惯性权重。是粒子跟踪自己历史最优值的权重系数，它表示粒子自身的认识，所以叫“认知”。通常设置为2。是粒子跟踪群体最优值的权重系数，它表示粒子对整个群体知识的认识，所以叫做“社会知识”，经常叫做“社会”。通常设置为2。是0,1区间内均匀分布的随机数。是对位置更新的时候，在速度前面加的一个系数，这个系数我们叫做约
6、束因子。通常设置为1。 这样一个标准的粒子群算法就结束了。下面对整个基本的粒子群的过程给一个简单的图形表示：判断终止条件可是设置适应值到达一定的数值或者循环一定的次数。 注意：这里的粒子是同时跟踪自己的历史最优值与全局（群体）最优值来改变自己的位置预速度的，所以又叫做全局版本的标准粒子群优化算法。粒子群算法(3)-标准的粒子群算法(局部版本)在全局版的标准粒子群算法中，每个粒子的速度的更新是根据两个因素来变化的，这两个因素是：1. 粒子自己历史最优值pi。2. 粒子群体的全局最优值pg。如果改变粒子速度更新公式，让每个粒子的速度的更新根据以下两个因素更新，A. 粒子自己历史最优值pi。B. 粒
7、子邻域内粒子的最优值pnk。其余保持跟全局版的标准粒子群算法一样，这个算法就变为局部版的粒子群算法。 一般一个粒子i 的邻域随着迭代次数的增加而逐渐增加，开始第一次迭代，它的邻域为0，随着迭代次数邻域线性变大，最后邻域扩展到整个粒子群，这时就变成全局版本的粒子群算法了。经过实践证明：全局版本的粒子群算法收敛速度快，但是容易陷入局部最优。局部版本的粒子群算法收敛速度慢，但是很难陷入局部最优。现在的粒子群算法大都在收敛速度与摆脱局部最优这两个方面下功夫。其实这两个方面是矛盾的。看如何更好的折中了。 根据取邻域的方式的不同，局部版本的粒子群算法有很多不同的实现方法。第一种方法：按照粒子的编号取粒子的
8、邻域，取法有四种：1，环形取法 2，随机环形取法 3，轮形取法 4，随机轮形取法。 1 环形2 随机环形 3 轮形 4随机轮形因为后面有以环形取法实现的算法，对环形取法在这里做一点点说明：以粒子1为例，当邻域是0的时候，邻域是它本身，当邻域是1时，邻域为2，8；当邻域是2时，邻域是2，3，7，8；.，以此类推，一直到邻域为4，这个时候，邻域扩展到整个例子群体。据文献介绍（国外的文献），采用轮形拓扑结构，PSO的效果很好。第二种方法：按照粒子的欧式距离取粒子的邻域 在第一种方法中，按照粒子的编号来得到粒子的邻域，但是这些粒子其实可能在实际位置上并不相邻，于是Suganthan提出基于空间距离的划
9、分方案，在迭代中计算每一个粒子与群中其他粒子的距离。记录任何2个粒子间的的最大距离为dm。对每一粒子按照|xa-xb|/dm计算一个比值。其中|xa-xb|是当前粒子a到b的距离。而选择阈值frac根据迭代次数而变化。当另一粒子b满足|xa-xb|/dmfrac时，认为b成为当前粒子的邻域。 这种办法经过实验，取得较好的应用效果，但是由于要计算所有粒子之间的距离，计算量大，且需要很大的存储空间，所以，该方法一般不经常使用。粒子群算法(5)-标准粒子群算法的实现标准粒子群算法的实现思想基本按照粒子群算法(2)-标准的粒子群算法的讲述实现。主要分为3个函数。第一个函数为粒子群初始化函数InitSw
10、arm(SwarmSize.AdaptFunc)其主要作用是初始化粒子群的粒子，并设定粒子的速度、位置在一定的范围内。本函数所采用的数据结构如下所示：表ParSwarm记录的是粒子的位置、速度与当前的适应度值，我们用W来表示位置，用V来代表速度，用F来代表当前的适应度值。在这里我们假设粒子个数为N，每个粒子的维数为D。W1,1W1,2.W1,DV1,1V1,2.V1,D-1V1,DF1第1个粒子W2,1W2,2.W2,DV2,1V2,2.V2,D-1V2,DF2第2个粒子.WN-1,1WN-1,2.WN-1,D-1VN-1,1VN-1,2.VN-1,D-1VN-1,DFN-1第N-1个粒子WN
11、,1WN,2.WN,DVN,1VN,2.VN,D-1VN,DFN第N个粒子表OptSwarm记录每个粒子的历史最优解（粒子历史最好的适应度）以及全部粒子搜索到的全局最优解。用Wg代表全局最优解，W.,1代表每个粒子的历史最优解。粒子群初始化阶段表OptSwarm的前N行与表ParSwarm中的相同，而Wg的值为表ParSwarm中适应度值的最大值对应的行。Wj,1Wj,2.Wj,D-1Wj,D第1个粒子的历史最优解Wk,1Wk,2.Wk,D-1Wk,D第2个粒子的历史最优解.Wl,1Wl,2.Wl,D-1Wl,D第N-1个粒子的历史最优解Wm,1Wm,2.Wm,D-1Wm,D第N个粒子的历史最
12、优解Wg,1Wg,2.Wg,D-1Wg,D全局粒子的历史最优解根据这样的思想MATLAB代码如下：function ParSwarm,OptSwarm=InitSwarm(SwarmSize,ParticleSize,ParticleScope,AdaptFunc)%功能描述：初始化粒子群，限定粒子群的位置以及速度在指定的范围内%ParSwarm,OptSwarm,BadSwarm=InitSwarm(SwarmSize,ParticleSize,ParticleScope,AdaptFunc)%输入参数：SwarmSize:种群大小的个数%输入参数：ParticleSize：一个粒子的维数%
13、输入参数：ParticleScope:一个粒子在运算中各维的范围；% ParticleScope格式:% 3维粒子的ParticleScope格式:% x1Min,x1Max% x2Min,x2Max% x3Min,x3Max%输入参数：AdaptFunc：适应度函数%输出：ParSwarm初始化的粒子群%输出：OptSwarm粒子群当前最优解与全局最优解%用法ParSwarm,OptSwarm,BadSwarm=InitSwarm(SwarmSize,ParticleSize,ParticleScope,AdaptFunc);%异常：首先保证该文件在Matlab的搜索路径中，然后查看相关的提示信息。%编制人：XXX%编制时间：2007.3.26%参考文献：无%容错控制if nargin=4 error(输入的参数个数错误。)endif nargout1|colum1 error(输入的粒子的维数错误，是一个1行1列的数据。);endrow,colum=size(ParticleScope);if row=ParticleSize|colum=2 error(输入的粒子的维数范围错误。);end%初始化粒子群矩阵%初
