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1、第 十 一章反常积分1反常积分概念一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性 .但在很多实际问题中往往需要突破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分” , 这便是本章的主题 .例 1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭(图 11-1 ), 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度 v0 至少要多大 ?设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律 , 在距地心 x( R) 处火箭所受的引力为F =mg R2x2.r ( R) 处需作的功为于是火箭从地面上升到距离地心为r221
2、 mg Rd x = mg R-1.R2Rrx当 r + 时 , 其极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为+ 的“ 积分”:图 11-1+ 2r2mg R d x =limmgRd x =mg R .2Rr + R2x最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度vx至少应使0122 mv0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m6s/2 ) , R = 6 .371 106 ( m) 代入 , 便得例 2v0 =2 g R 11 .2( km6s/) .圆柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为R , 桶底有 一半径为r 的小孔(图
3、11 - 2) . 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间? 1 反常积分概念265从物理学知道, 在不计摩擦力的情形下 , 当桶内水位高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速图11- 2( 单位 时间内 流过单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h-x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t内,桶中液面降低的微小量为d x , 它们之间应满足R22d t ,d x = vr由此则有R2d x , x 0 , h . r 2d t =2 g( h -x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分” :h2Rtf=0 rd x .22 g(
4、 h - x)但是在这里因为被积函数是 0 , h) 上的无界函数, 所以它的确切含义应该是u2tf=lim 2Rd xu h -0 r2 g( h - x)22=limRh -h - ugu h - r22 hR2=.gr相对于以前所讲的定积分(不妨称之为正常积分 )而言,例 1和例 2分别提出了两类 反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f定义在无穷区间 a,+ ) 上 , 且在任 何有 限区间 a , u上可积 .如果存在极限limu f (x) d x =J,( 1)u + a则称此极限 J 为函数 f 在 a, + )上的无穷限反常积分 ( 简称 无穷积分 ) , 记作
5、+ J =af ( x) d x ,( 1)+ + af ( x) d x 收敛 . 如果 极限 ( 1)a并称不存在, 为方便起见, 亦称f ( x) d x发散 .类似地 , 可定义f 在 ( - , b 上的无穷积分:266第十一章反常积分bb f ( x )d x=lim f (x) d x .( 2)- u - u对于 f 在 (- , + ) 上的无穷积分, 它用前面两种无穷积分来定义:+ a+ f ( x) d x +af ( x) d x ,( 3)- f ( x ) d x =- 其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注 1无穷积分 ( 3)
6、 的收敛性与收敛时的值, 都和实数a 的选取无关 .注 2由于无穷积分 ( 3)是由 (1 ) 、(2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在任何有限区间 v , u (-,+) 上,首先必须是可积的 .+ 注 3 af ( x ) d x 收敛的几何意义是 : 若 f 在 a , + ) 上为非负连续函数,则图 11- 3 中介于曲线y = f ( x), 直线 x = a以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .例 3讨论无穷积分+ d x的收敛性 .p解 由于1upxx d=111x-p( uln u ,( 4)1 - p - 1 ) ,p 1 ,p = 1 ,1
7、ulim d px =p - 1,p 1u + 1x+p 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p 1 时收敛 , 其值为1; 而当 p1 时发散于 + .p -1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大, 曲线 y =1 当 x 1 时越靠近x 轴 , 从px而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大 .例 4讨论下列无穷积分的收敛性:+ d x+ d x1)p ;2)2 .x( ln x)2- 1 + x解 1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限图 11-4来定义的,因此有关定积分的换元积分法和 1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说 , 就有+ d x+ d t=x ( ln x )pp .2ln 2t从例 3 知道 , 该无穷积分当p 1 时收敛 , 当 p 1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分:+ d xadx和 a2 .- 21 + x由于1 + xad xlim2=lim( arctan a-arctan u )u - u1 + xu - v=arctan a + ,lim d x=lim22( arctan v-arctan a)v + a1 +xv + =-arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛2.由定义 1 ,+ d xad x
