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1、模型 20 磁场中的粒子源(解析版)“粒子源”问题可以分为两类,第一类是在同一平面内沿某一方向发射不同速率的同种带电粒子;第二类是在同 一平面内,沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子。第一类粒子源,能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子(如电子),这些带电粒子垂直于 磁感线射入布满空间的匀强磁场,做同方向旋转的匀速圆周运动,有下列特点(如图甲):甲(1) 各带电粒子的圆轨迹有一个公共切点,且各圆的圆心分布在同一条直线上。(2) 各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。(3) 速率大的带电粒子所走过的路程大,对应大圆。第二类粒子源,能在同一平面内,沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子,这
2、些带电粒子垂直于磁感线 射入布满空间的匀强磁场,做同方向旋转的匀速圆周运动,各带电粒子的圆轨迹半径相等,运动周期相等。这类 问题可以归结为这样一个几何模型:如图乙所示，有一半径为R的圆，绕圆周上一个定点P转动一周，圆平面扫 过的面积就是以P为圆心，以2R为半径的圆面积，圆上任意一点都绕P点转动了一周。要准确把握这一几何 模型，需要认识和区分三种圆。乙(1) 轨迹圆:每个粒子在磁场中均以半径Ri=7F做匀速圆周运动，随着入射点P处速度方向的改变,这些轨迹圆可以看作是以点P为圆心旋转构成的一系列的动态旋转圆。(2) 圆心圆:在轨迹圆旋转过程中 ，这些轨迹圆的圆心的轨迹在以 P 为圆心，半径与轨迹圆
3、半径相等 ，即R2=7的圆上，如图乙中虚线所示。(3) 边界圆:在轨迹圆旋转过程中,各轨迹圆上离圆心最远的点构成的轨迹也是一个圆,这个圆也是粒子能够到达的区域，其圆心是P,半径为轨迹圆半径的两倍，即R3三,如图乙中外围黑体实线所示。用动圆法解“粒子源”的临界问题(1)定圆旋转法当带电粒子射入磁场时的速率 v 大小一定,但射入的方向变化时,粒子做圆周运动的轨道半径 R 是确定 的。在确定粒子运动的临界情景时,可以以入射点为定点,将轨迹圆旋转,作出一系列轨迹,从而探索出临界条 件。如图甲所示为粒子进入单边界磁场时的情景。X X X XX(2)动态放缩法当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度V
4、大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 R 随之变化。在确定粒子运动的临界情景时,可以以入射点为定点,将轨道半径放缩,作出一系列的轨迹,从而探索出临界条件。如图乙所示，粒子进入长方形边界OACD从CD边射出的临界情景为和。乙【典例1】(17年江苏卷)一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电 场，其初速度几乎为0,经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为q，质量分别为2m和m,图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.
5、（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d（3）若考虑加速电压有波动，在（U - AU ）到（U +AU ）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没00答案】（1）2)有重叠，求狭缝宽度 L 满足的条件.了 2 mU 4mU L2d =o o -B Y q y qB 243)L 諾氏返厲叮莎【解折】1）设甲种离子在磁场中的运动半径为旳12V1电场加速B产寸2曲且豳=皿一2解得桐据几何关系加_解得扌f6佩图）最窄处位于过两虔线交点的垂线上【变式训练1】如图甲所示,真空中存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里
6、，磁感应强度的大小B=0.60 T, 磁场内有一块足够大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16 cm处,有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子,a粒子的速度均为v=3.0x106 m/s,已知a粒子的比亍=5.0x107 C/kg,现只 考虑在图纸平面中运动的a粒子，求ab上被a粒子打中的区域的长度。XXX X -X X X X X/XXXX X1XXXX甲答案】20 cm【解析】a粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有乙qvB=m .由此得R=T代入数值得R=10 cm,可见2RlR如图乙所示,因朝不同方向发射的a粒子的圆轨道
7、都过S,由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切, 则此切点P就是a粒子能打中的左侧最远点,为确定P点的位置，可作平行于ab的直线cd,cd到ab的距离为 R,以S为圆心,R为半径，作弧交cd于Q点，过Q点作ab的垂线，它与ab的交点即P,由图乙中几何关系得np严、：-：-r.:再考虑N的右侧，任何a粒子在运动过程中离S的距离不可能超过2R,所以右侧的最远点是与S在同一 直径上的一点,设为 P2由图乙中几何关系得NPJ戸所求长度为 P1P2=NP1+NP2解得 Pp=20 cm。【典例2】如图甲所示圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子
8、在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上,这段圆弧的弧长是圆形磁场周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2,结果A. ： B. 3C.2 D.3【答案】 B【解析】当粒子做圆周运动的半径小于或等于磁场区域半径时,粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径。如图乙所示，当粒子从:圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ,粒子都从圆弧PQ之刑1间射出，因此轨道半径r1=Rcos 30=R;若粒子射出的圆弧对应弧长为原来的一半，即，周长，对应的弦长为R,【变式训练2】如图甲所示,在真空中坐标xOy平面的x0区域内，有磁感应强度B
9、=1.0x10-2 T的匀强磁场,方向与xOy平面垂直，在x轴上的P(10 cm,0)点，有一放射源，在xOy平面内向各个方向发射速率v=1.0x104 m/s的带正电的粒子，粒子的质量m=1.6x10-25 kg,电荷量q=1.6x10-18 C,求带电粒子能打到y轴上的范围。甲【答案】-10 cm10 ： cm解析】带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得qvB=m .解得 R=7=0.1 m=10 cm如图乙所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时A点即为粒子能打到y轴上方的最高点。因OP= 10 cm贝y OA= . W工=10 1AP=2R=20 cmcm乙当带
10、电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时，若圆心再向左偏,则粒子就会从纵轴离开磁场，所以B 点即粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB=R=10 cm，综上所述，带电粒子能打到y轴上的范围为-10cm10: cm。【典例3】(多选)如图甲所示,xOy平面的I、II、III象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度B=1 T的匀强磁 场,ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9 m,M点为x轴正方向上一点,OM=3 m。现有一个比荷77=1.0 C/kg、可视为质点且带正电的小球(重力不计)从挡板下端N处小孔以不同的速度向x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不
11、变，小球最后都能经过M点,则小球射入的 速度大小可能是()。甲A.3 m/s B.3.75 m/sC.4 m/s D.5 m/s【答案】ABD【解析】因为小球通过y轴的速度方向一定与x轴正方向平行，故带电小球做圆周运动的轨迹半径最小值为3 m,即RminJL懈得vmin=3 m/s,经验证，带电小球以3 m/s的速度进入磁场，与ON碰撞一次，再经四分之三圆 周经过M点，如图乙所示,A项正确;当带电小球与ON不碰撞，直接经过M点，如图丙所示，小球速度沿x轴负 方向射入磁场，则圆心一定在y轴上，作出MN的垂直平分线，交于y轴的点即得圆心位置，由几何关系解得轨迹 半径最大值R =5 m,又R =柘，
12、解得v =5 m/s,D项正确;当小球速度大于3 m/s且小于5 m/s时,轨迹如 maxmax 土&max图丁所示，由几何条件计算可知轨迹半径R=3.75 m,由半径公式R=?得v=3.75 m/s,B项正确,C项错误。乙【变式训练3】如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相 同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为V,这些粒子在磁场 边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力 及带电粒子之间的相互作用。则v2 : V为()。A. 7 : 2 B/ T :
13、1 C. 7 : 1 D.3 ： T【答案】 C【解析】当粒子在磁场中运动的轨迹是半圆时,出射点与入射点的距离最远,故射入的速率为 V1 时,对应轨道半径r1=Rsin 30，射入的速率为v2时,对应轨道半径r2=Rsin 60，由半径公式r=7可知轨道半径与速率成正比,【典例4】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图甲所示。 图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度e顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内,射入时的运动方向与MN成30角。当筒转过90时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。 若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞,则带电粒子的比荷为()。甲山 出 山加A三 B三 C 7 D-T【答案】A【解析】画出粒子的运动轨迹如图乙所示，由洛伦兹力提供向心力得qvB=m，又 T=，联立解得T=由几何知识可得,轨迹的圆心角0=,在磁场中运动的时间t=T,粒子运动和圆筒运动具有等时性，则TT乙
