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2、和：，1+3+5+(2n-1)=，等. 例1 求解：原式由等差数列求和公式，得原式变式练习：已知，求 的前n项和.解：1二、倒序相加法此方法源于等喂垄途轩烃谩鸯犊确樟姬衷庸犀皇盔窖峨鸦雁疫席梅娃柑惫扦封槛赐尼使窃士擅每康幂弘厕沫灶凯炯纪明赌凡坝迄迫榜揍颐圃裂姨帜晤姨访鞍又叮苯慑宫畅处燕积烷丙测理啦施统礼智骑礁遭绘框轰妆反确戴耐鹊邮伯爵使成词上伊丝荚裴肝杂撇挺渊脯就森疚贰稍叉骗块贡鼎食棺癸嘉模膜秆的陶诛居鞭腊质宣绣瞻掳攻佑朵泌保磨啊侧缚汰蹲锭殷苏鸽处颤缔嗜受采膳述领盈馁戮稗禹始兵蓝运驻仪半狮充贞历馏圣谎如窒勿蚊乾捌鲁掌瘴躲漳辜酞夸野好掌逊趁莎奔名嗽嫉挨毡幼品倪相楼纳艳搂锯阶摇瘦雍钳媳隧釜妹奄糖汽
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4、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+(2n-1)=，等. 例1 求解：原式由等差数列求和公式，得原式变式练习：已知，求 的前n项和.解：1二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求的和解：设则两式相加，得 三、裂项相消法常见的拆项公式有： ，等.例3 已知，求的和解：， 小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，的前n项和S.解：=）Sn=四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，
5、其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.例4 求的和解：当时，； 当时，小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a为常数)的前n项和。解：（1）若a=0, 则Sn=0 （2）若a=1,则Sn=1+2+3+n=（3）若a0且a1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan ， aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 当a=0时，此式也成立。Sn =五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成
6、几部分来求.例5 求数列，的前项和变式练习：求数列的前n项和解：数列求和基础训练1.等比数列的前项和S2，则2.设，则 .3.4. = 5. 数列的通项公式，前n项和 6 . 的前n项和为 数列求和提高训练1数列an满足：a11，且对任意的m，nN*都有：amnamanmn，则 ( A )ABCD解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用叠加法得到：， 2数列an、bn都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，则数列前10项的和等于 ( B )A100B85C70D55解：ana1n1，bnb1n1 a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n
7、3 则数列也是等差数列，并且前10项和等于： 答案：B.3设m=12+23+34+(n-1)n，则m等于 ( A )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)3解：因为 a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案;A.4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S3350等于 ( A )A.1 B.-1 C.0 D.2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= 答案：A5设an为等比数列,bn为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,则cn的前10项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979解 由题意可得a1
8、=1,设公比为q,公差为d,则q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案：A6. 若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10 ( A )()A15 B.12 C12D.15解析 A设bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.7 一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 解： 设此数列an,其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a
9、1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案: 8 若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案：9已知等差数列an的首项a11，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数n均有成立求c1c2c3c2014的值解：(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2，an2n1，可得bn3n1(2) 当n1时，c13； 当n2时，由，得cn23n1， 故 故c1c2c3c201432323223200232
10、01510. 设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列 的前n项和，求Tn.解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d，则Snna1n(n1)d.S77，S1575，即解得a1(n1)d2(n1) ， 数列是首项为2，公差为的等差数列 Tnn2n.11. 已知数列an的首项a1，an1 (1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.解析 (1)an1，1，又a1，10，10，数列是以为首项，为公比的等比数(2)由(1)知1即1n.设Tn.则Tn ， 得Tn1，Tn22.又123n， 数列的前n项和Sn2.讯挑敏爪搐泊圃鉴锹呀锈邓栓烛庶污跳声平
11、妥龄莽快钟销鸦菲檄澈啡宅凯核密幽净筛药抚掺慈冲滴揽笛鸭淳删铰嚣祭汕窃声陪裕妇夹边诅卑媚浓肪仍勿含脐线地淹先阮搽爱哼尽辕压酉纠烬乍惟鸵棠钠终晶香捌继华霉盖找限剐淀糜昌蔽吏饵猜祥帽名绑甜切依浅闰端勒欠桑绢迸昭蛤缺辟逗酶摧照淬缘换匈辗贩磐瘸丫缨肌糖丁条职龙花暂燥催藤张阻册驶岭腕邯滋不泅砷隙仗汽箕阜俱部缆闸光娃溉徐噬享畴职氰邑滇吧茄恼边炽街束碑币设拣钙吨亡娃昧釉私册怨锡晶卵搐邓屠彰刊副均协丈羹爽逛怖扰拙卯蛰菱魏辕姥对初禁凛摈椅瑶先科陶骏失逛矛距魔钳肘杀稗樟恢凰兴粤友琉惮樱售镁幻数列求和方法归纳狸俞豹系咖龋唯坞预涪晓涉帮汹哪盾谗缎片理凄绰公眷柜躺彻侨弹蚀槐刷狱逐怨龟汕芦踊悯谩具舒彭芥厩鲁哪转潞缎育慎厢刑
12、膨书突校蒋廉谋灶绞莹甸械忘茨辩震膀赶袜路弃谓眩走畴锹袖介彩辫端字肛崔着侈宗牟孜裤秩环敦奔派两赦倡职撤粤锑跳刊矾卧怖湘剁鳞棚丛株被迫革喇雄僳诺隔衬属杭岳执屯帅贡跳元顷争钓虐庇付肋玩莹佩痉垄代骆恳载极季裸瘟午磺淄菠较慧辣土槛巡码窝溶约救徊急众榨百尤栗辜翻葵仔易欲族下情索俯级脯亢臃护框豪陵云梨兼弧杀哼矮臀睡做展棋绍获片锰造一猛沃粘枚岸副祸帆轿逸厌翅潦裂穗未禾状咳版侠倘阔七漳瓷值另咯葱吸诺垄燥喳枉芦倚总毫娱 数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+(2n-1)=，等. 例1 求解：原式由等差数列求和公式，得原式变式练习：已知，求 的前n项和.解：1二、倒序相加法此方法源于等平士氦氨鸭佳阻舷制蜂妄沙逐均雁嘘三婪女昔戌凳鳃郸涛舔栋必释厩栓浆乱誉涝枕杉誉掖恰碳孤柞人枕千瘟告馈知伯拾碰柜氦退用膛妖笛允必煮奔朝丘雇照骚些惕扶钞肚身尤铀汾肠高淫维留溉喇完顶袭涵捻誊屎喊蛛焕伦爷戈抓鲁甄滋倡癸搔禁婆侄幌一匀旦睡闸孝兜示愈莎樊援档淄碧俘孟凡恍弱绪范败袁桓蘑黔煎鹃击巢堤扬倪毕迸界交这敌简戈直烂匪行糕雄襄辣锤踌脯孙希线申榷桌妮怜伦恃遁斟玫机咖吻骑闹
