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1、（完整版）第六章无穷级数（典型例题） 第六章 无穷级数（3-4道小题，5 分一个题）例1、考察下述级数的敛、散性不用全部讲）1）无n ;(2)艺丫 1nn +1)n=1n=1 1+1+1+1+.24684）116）8）例2、11+ + + +.45675) n=1仃nn 21 )+ 4n丿I 2n1+ +3nn7）123+ + +.;234兀cos 兀 + cos + cos +. + cos + .23n(9) n=1已知级数艺u的部分和S = n 3，则当n 2时，求u .nnnn=1例3、若级数u收敛,nn=1记 S = u，则(B)nii=1(A).lim S = 0；n ns(C).
2、lim S 可能不存在n ns（B）lim S 存在；nns（D）.S 是单调数列。例4、若级数艺u收敛,则下列级数中收敛的是：(AE)10n=1例5、设艺un=1nn=1艺(u +10)nn=1C 10 D 艺(u -10) E unn =1 nn =1=50, v = 100，则艺(2u + 3v ) (D)nn=1nnn=1A 发散 B 收敛,其和为100 C例6、 下列条件中，使级数艺（un=110unn=1收敛,其和为50 D 收敛,其和为400+ v ）一定发散的是（A）n(a)u发散且v收敛;nnn =1n =1(B ). un=1发散；（C）艺v发散;n(D ) un和艺v都发
3、散.n例7、例8、判别下列级数的敛、散性 （1）!上（讲直接用极限形式的）1 + n 2n =12） J + 1 )； n=n (n3 + 1) - 1sinnn=1（注意可推广乞sin纟（a 0）；npn=1设级数 (1- u )收敛，则 limunn =14） 2n sin ;3nn =1例9、判别下列级数的敛散性：、(1) n=12 ；(2) 巴；(3)nnn=1n!王。n2nn=1例10、 下列正项级数收敛的是:a 1 b 1 c 一1d 丄3n +1n ln nn(ln n)nnnn=1n=2n=2n=2例11、 设u 0),且 v 收敛，则 unn n =1n =1A。必定收敛 B
4、。必定发散 C.收敛性与a有关 D.以上三个结论都不对的敛、散性为例12、若limnu = k(k 0)，则正项级数unnT8.n=1例13、 判别级数的敛散性：（-l）n-1（结论记住，稍后给出一个结论）nn =1例14、下列级数中，绝对收敛的是（c）A (-1)nB (-1)n (3)n C 2n =12n +1n =1(-1)n-1(b3n n=1艺(-1)n (n -1)nn=1艺cos n兀n=1例15、下列级数中，绝对收敛的是（c）A sin，B (-1)n sin C (-1)n sin-nnn2n =1n =1n =1例16、下列结论正确的是（C）A若艺u ,艺v都收敛，则艺(
5、u + V )2也收敛n n n nn=1n=1n=1B若艺u ,艺V都收敛，则艺(u 2 + V 2)也收敛nnnnn =1n =1n =1C若正项级数艺u ,艺V都收敛，则艺(u + V)2也收敛nnn nn =1n =1n =1D若艺u v 收敛，则艺u ,另V也收敛n nnnn =1n =1n =1例17、若幂级数艺a xn在x = 2处收敛，则该级数在x = -1处是()(在x = -2,x =-3呢) nn =1A发B条件收敛C绝对收敛D敛散性不确定例18、若幕级数艺a xn在x = 2处条件收敛，则该级数在x = -1处是()(在x = -2,x = -3呢)nn =1A 发 B
6、 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性不确定例19、若幕级数艺a (x-3丄在点x = 1处发散，在点x = 5收敛，则在点x = 0 ， x = 2， x = 4， x = 6 nn=0中使该级数发散的点的个数有A. 0个B. 1个 C.2个D. 3个例20、 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间(讨论端点):(-1 )n-1hl Xn ；(做题步骤)nn=1解：三步：先写出系数，求出收敛半径，讨论端点求收敛区间.1(1) p = liml 汕|= lim= 1,所以，R = 1；ns ann(2)在端点x = -1,n艺(-1)-发散；nn=1在端点 x =1 ,n 艺(-1)n-丄收敛。n故收
7、敛域为C 1,1】.兰養;解：因为Pn=0=lim I an+i |= limmg an Tgn(n +1)!1 n!= 0, 所以, R = +g ；故收敛区间为C g,+g)。(3)遠n! xn; (4)艺n (x - 1)n的收敛区间(不考虑端点)1 + (-3)nn=0n=0例21、(05)求艺(-1)n上 的收敛半径及区间(考虑区间端点)。2n + 1例22、(口述)求艺(-1) (x + 5的收敛半径及区间(考虑区间段点)。 2n +1n=0n=0例23、若幕级数艺a xn的收敛半径为R，则幕级数艺a (x 2)2n的收敛区间为nnn=0n=0AB(2-R,2+R)C(-R,R)D
8、例24、幕级数艺的和函数S (x) = e2 xn!n=0.(若换为艺比=ex 1)n!n=1例25、幕级数艺(1)n的和函数S (x) = ln(1+ ).(n + 1)2n+12n=0例26、级数艺2的和e2.n!n=0例27、将将函数f (x)= 展开成x幕级数1 + x 2例28、(07)将2x展开x的幂级数.4 x2例29、(08)将1展开x的幂级数。x 2 x 2例30、 f (x) =1 展开为x的幂级数.(x 1)2例31、将1展开x 1的幕级数(即在点x = 1处展开成幕级数).例32、将f (x)= 2x展开成x幕级数。例33、(06 )函数f (x) = e-x2在x = 0处展开的幕级数是。例34、将f (x) = Inx展开x-2的幂级数。例35、将f (x)= ln(1 + x)展开成x-3幕级数(即在点x = 3处展开成幕级数)
