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1、2005年考研数学一真题一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 .把答案填在题中横线上）x 2（ 1）曲线 y斜渐近线方程为 _.2x 1（2）微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 解为 . _.9（3 ） 设 函 数 u( x, y, z)1x2y 2z2， 单 位 向 量 n1 1,1,1， 则612183u=._.n(1,2,3)（4）设 是由锥面 zx 2y 2与半球面 zR2x 2y 2 围成空间区域，是 整个边界外侧，则xdydzydzdxzdxdy_.（5）设1 ,2 ,3 均为3 维列向量，记矩阵A(1,2 ,3)，B(123 ,12243
2、 ,13293)，如果A1 ，那么B.（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从 1,2, X中任取一个数，记为Y,则PY2=_.二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数 f ( x)lim n 1x3n ，则 f(x) 在 (, ) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 . （8）设 F(x) 是连续函数 f(x) 一个原函数， MN 表示“ M充分必要条件是 N”，则必有(A)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数
3、 .（B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数 .（9）设函数 u( x, y)( xy)x y(t)dt , 其中函数( x y)y具有二阶导数，具x有一阶导数，则必有(A)2 u2 u .（B）2u2 u .x2y2x2y 2(C)2 u2 u .(D)2 u2 u . x yy 2x yx 2（10）设有三元方程 xyz ln y exz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1) 一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续
4、偏导数隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 y=y(x,z). （11）设 1,2 是矩阵 A 两个不同特征值，对应特征向量分别为1, 2，则1 ，A( 12 ) 线性无关充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C)10.(D)20 .（12）设A 为n（ n2）阶可逆矩阵，交换A 第1 行与第2 行得矩阵B,A*,B*分别为 A,B 伴随矩阵，则(A)交换A*第1 列与第2列得 B*.(B)交换A*第1 行与第2行得 B*.(C)交换A*第1 列与第2
5、列得B*.(D)交换A*第1 行与第2 行得B*.（13）设二维随机变量 (X,Y)概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件 X 0 与 XY1 相互独立，则(A)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4（14）设 X1, X2, X n (n2) 为来自总体 N(0,1)简单随机样本， X 为样本均值， S2 为样本方差，则(A)nX N (0,1)(B)nS 22 ( n).(C)(n1)X t( n 1)(D)( n n1)X12 F (1, n1).SX i2i 2三 、解答题（本题共 9 小题，满分
6、94 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ）（15）（本题满分 11 分）设 D(, )x2y22,x0,y0， 1 x22 表示不超过 1 x22最大整数 .x yyy计算二重积分xy1x2y 2 dxdy.D（16）（本题满分 12 分）求幂级数(1) n 1 (11)x 2 n 收敛区间与和函数 f(x).n1n(2n1)（17）（本题满分11 分）如图，曲线 C 方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处切线，其交点为 (2,4).设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分32x) f(
7、 x)dx.( x0（18）（本题满分12 分）已知函数 f(x)在0 ，1 上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在( 0,1), 使得 f () 1；（ II）存在两个不同点,(0,1) ，使得 f ( ) f () 1.（19）（本题满分 12 分）设函数( y) 具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分( y)dx2xydy值恒为同一常数 .L2x2y4（ I ）证明：对右半平面 x0 内任意分段光滑简单闭曲线C，有( y)dx2xydy0；C2x2y4（II ）求函数( y) 表达式 .（20）（本题满分 9 分）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 )(1a) x12(1 a)x222 x322(1a)x1 x2 秩为 2.（ I ） 求 a 值；（ II ） 求正交变换 x Qy ，把 f (x1, x2 , x3 ) 化成标准形；（ III ） 求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) =0 解 .（21）（本题满分 9 分）123已知 3 阶矩阵 A 第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零，矩阵B246（k 为常数），36k且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0通解 .（22）（本题满分 9 分）设二维随机变量 (X,Y) 概率密度为求：（I ）(X,Y)
