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1、第5章 期权定价理论期权定价理论是继资产组合理论、资本资产定价模型之后金融领域又一个获得诺贝尔经济学奖的重要理论1973年，Black和Scholes发表了期权和公司债务的定价(The pricing of options and corporate liabilities)一文，提出了著名的期权定价理论同年，Merton给出了以支付连续红利率股票为标的资产的期权定价公式，并把Black-Scholes期权定价公式推广到无风险利率和标的资产价格的变异性不是常数的重要情况在本章，我们将以B1ack-Scholes期权定价公式为主线介绍与期权相关的一些知识、股票价格的行为模型、Black-Scho
2、les偏微分方程、Black-Scholes期权定价公式、B1ack-Schotes期权定价公式的拓展模型(支付已知红利的股票欧式期权定价和美式看涨期权定价)等5.1 期权概述5.1.1 期权的概念期权是赋予了其拥有者在未来的某时间以事先预定好的价格买卖某种金融资产的权利的合约从广义上讲，期权也可以指金融资产中含有的任何选择权一般称期权中规定的金融资产为期权的标的资产，并称对标的资产的商定价格为行权价格根据交易的买卖类型，可以将期权分为看涨期权和看跃期权看涨期权是指在指定日期以行权价格买入一定量的金融资产的合约看跌期权是指可以在指定日期以行权价格卖出一定量的金融资产的合约期权中指定的日期称为到
3、期日当投资者认为某种金融资产的价格将要上涨时，就可以购买这种金融资产的看涨期权，或者出售这种金融资产的看跌期权相反，如果认为某种金融资产的价格将要下跌，则可以采取相反的操作按期权允许的行权时间划分，期权可分为欧式期权和美式期权欧式期权是指期权的行权日期是事先指定的期权；美式期权是指可以在到期日之前的任何日期行权的朗权在交易所交易的大部分期权是美式期权但是，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期权的一些性质总是可以从欧式期权的性质推导出来根据行权价格与标的资产市场价格的关系，可将期权分为实值期权、虚值期权和平价期权三种类型对看涨期权而言，若标的资产价格高于行权价格，期权的买方执行期权特有利
4、可图，此时为实值期权若标的资产价格低于行权价格，期权的买方格放弃执行期权，此时为虚值期权对看跌期权而言，标的资产价格低于行权价格为实值期权；标的资产价格高于行权价格为虚值期权若标的资产价格等于行权价格，则看涨期权和看跃期权均为平价期权从理论上说，实值期权的内在价值为正，虚值期权的内在价值为负，平价期权的内在价值为零但实际上，无论是看涨期权还是看跌期权，也无论期权标的资产的市场价格处于什么水平，期权的内在价值都必然大于零或等于零，而不可能为一负值这是因为期权赋予买方执行期权与否的选择权，而没有规定相应的义务，当期权的内在价值为负时，买方可以选择放弃期权期权的内在价值定义为期权本身所具有的价值，也
5、就是期权的买方如果立即执行该期权所能获得的收益一种期权有无内在价值以及内在价值的大小，取决于该期权的行权价格与标的资产市场价格之间的关系期权的时间价值是指期权的买方购买期权而实际支付的价格超过该期权内在价值的那部分，一般以期权的实际价格减去内在价值求得在现实的期权交易中，各种期权通常是以高于内在价值的价格买卖的，即使是平价期权或虚值期权，也会以大于零的价格成交期权的买方之所以愿意支付额外的费用，是因为希望随着时间的推移和标的资产市场价格的变动，该期权的内在价值得以增加，使虚值期权或平价期权变为实值期权，或使实值期权的内在价值进一步提高买卖期权一般情况下有两种动机：一种是出于投机赚取最大利润的想
6、法，因为期权价格的波动将导致获得更大收益的机会当然，同时也面临产生更大损失的风险另一种情况是出于对冲风险的考虑因为期权的行使不是必须的(期权赋予了其投资者做某事的权利，但持有者不一定必须行使该权利这一特点使得朋权不同于远期、期货等金融资产投资者签署远期和期货合约时的成本为零，但投资者购买一张期权合约必须支付期权费)，所以期权作为投资策略的一个部分，在对冲风险方面有更大的选择余地期权定价就是对这种选择权本身进行定价如果这种选择权是可以独立交易的，那么这个价格是非常有现实意义的如果这种选择权不是单独交易的(可能是含在产品中的，如可转换债券中的转换权力)，通过定价也可以对这部分的价值有一定的了解，以
7、便更好地掌握金融资产价值变化的情况最早的场内期权是股票期权芝加哥期货交易所于1973年设立了一个新的交易所期权交易所，从而拉开了期权交易的序幕随着国际金融市场的迅速发展，期权标的资产逐渐拓展到股票指数、利率和外汇等领域目前，股票期权和股票指数期权在期权市场中所占的比例最大但是，并不是所有的期权都是在交易所中交易的，在金融机构与大公司之间直接进行的期权交易也非常普遍，这种期权交易称为场外期权交易场外期权交易的主要特点是金融机构可以根据客户的需要订立期权合约 5.1.2 影响期权价格的因素期权价格由内在价值和时间价值构成，因而凡是影响内在价值和时间价值的因素，就是影响期权价格的因素大致包括以下几种
8、：(1)行权价格与标的资产价格行权价格与标的资产价格是影响期权价格的最主要因素这两种价格的关系不仅决定了期权有无内在价值及内在价值的大小，而且还决定了有无时间价值和时间价值的大小一般而言，行权价格与标的资产价格之间的差距越大，时间价值越小；反之，则时间价值越大这是因为时间价值是市场参与者因预期标的资产价格变动引起其内在价值变动而愿意付出的代价当一种期权处于极度实值或极度虚值时，市场价格变动的空间已很小只有在行权价格与标的资产价格非常接近或为平价期权时，市场价格的变动才有可能增加期权的内在价值，从们使时间价值随之增大(2)权利期间权利期间是指期权剩余的有效时间，即期权成交日至期权到期日的时间在其
9、他条件不变的情况下，权力期间越长，期权价格越高；反之，期权价格越低这主要是因为权利期间越长，期权的时间价值越大；随着权利期间缩短，时间价值也逐渐减少；在期权的到期日，权利期间为零，时间价值也为零通常权利期间与时间价值存在同方向但非线性的关系。(3)利率利率，尤其是短期利率的变动会影响期权的价格利率变动对期权价格的影响是复杂的：一方面，利率变化会引起期权标的资产价格变化，从而引起期权内在价值的变化；另一方面，利率变化会使期权价格的机会成本变化；同时，利率变化还会引起对期权交易的供求关系变化，因而从不同角度对期权价格产生影响例如，利率提高，期权标的资产如股票、债券的市场价格将下降，从而使看涨期权的
10、内在价值下降，看跃期权的内在价值提高；利率提高，又会使期权价格的机会成本提高，有可能使资金从期权市场流向价格已下降的股票、债券等现货市场，减少对期权交易的需求，进而又会使期权价格下降总之，利率对期权价格的影响是复杂的，应根据具体情况作具体分析(4)标的资产价格的波动性标的资产价格的波动性越大，期权价格越高；波动性越小，期权价格越低这是因为，标的资产价格波动性越大，在期权到期时，标的资产市场价格涨至行权价格之上或跃至行权价格之下的可能性越大因此，期权的时间价值，乃至期权价格，都将随标的资产价格波动的增大而提高，随标的资产价格波动的缩小而降低(5)标的资产的收益标的资产的收益将影响标的资产的价格在
11、行权价格一定时，标的资产价格又必然影响期权的内在价值，从而影响期权的价格由于标的资产分红派息等将使标的资产价格下降，而行权价格并不进行相应调整，因此，在期权有效期内，标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，使看跌期权价格上升为了便于今后各章节的讨论，我们做出如下假设(1)市场是无套利的市场；(2)市场中没有交易费用；(3)所有交易利润具有相同的税率同时我们定义以下各字母的含义：股票现价；X：期权的行权价格；：期权的到期日；t：现在时刻；：在T时刻股票的价格；r：在T时刻到期的投资的无风险利率；c：购买一股股票的欧式看涨期权的价格；p: 出售一股股票的欧式看跌期权的价格；C：购买一股股票的美式看涨
12、期权的价格；P：出售一股股票的美式看跌期权的价格：股票价格的波动率 5.1.4期权价格的止下限 1期权价格的上限 欧式看涨期权或者美式看涨期权持有者有权按照某一确定的价格购买一股股票在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价格所以，股票的价格应该是期权价格的上限： （5.1.1)如果这一关系不成立，将存在着套利机会，套利者将通过购买股票并卖出看涨期权获得无风险收益欧式看跌期权或者美式看跌期权的持有者有权以行权价格X出售一股股票无论股票价格多低，期权的价格都不会超过，所以有 （5.1.2）由于欧式看跌期权在T时刻期权的价值不会超过X，所以现在期权的价格不会超过X的现值 （5.1.3）如果上式不成
13、立，将出现套利机会，套利者可出售期权并将收入所得以无风险利率再投资，获得无风险收益。2不支付红利股票的欧式看涨期权下限不支付红利股票的欧式看涨期权的下限为 （5.1.4）为了讨论这个问题，我们考虑以下两个组合： 组合A：一个价格为c的欧式看涨期权加上金额为的现金； 组合B：一股标的价格为的股票如果将组合A中的现金按照无风险利率投资，在T时刻将变为X。在T时刻，如果，投资者就会行使期权，组合A的价值为；如果，期权到期值为0，组合A的价值是所以，在时刻组合A的价值为 在T时刻组合B的价值是，所以在T时刻组合A的价值通常不会低于组合B的价值。因此，在无套利条件下，我们有 或对于一个看涨期权来说，最坏
14、的情况是在期权到期时价值为0，所以期权价值不能为负，即，从而有 （5.1.5）3不支付红利股票的欧式看跌期权下限 不支付红利股票的欧式看跌期权的下限为为了讨论这个问题，考虑如下两个组合： 组合A：一个价格为p的欧式看跃期权加上一股标的价格为的股票； 组合B：金额为的现金 如果，则在时刻组合A的期权将会被行权，组合价值为；如果，在期权到期时刻，其价值为0，组合A的价值是。所以，在T时刻组合A的价值是假设现金以无风险利率投资，则在T时刻组合B的价值为。所以在时刻组合A的价值总不会低于组合B的价值在无套利条件下，组合A的价值不会低于组合B的现值，即 或 对一个看跌期权来说，可能发生的最坏的情况是期权
15、在到期时期权价格为0，所以期权的价格必须为正值，即，这意味着 （5.1.7）515 看跌期权-看涨期权的平价关系 我们现在推导欧式看跌期权价格与欧式看涨期权价格c之间的关系考虑如下两个组合：组合A：一个价格为的欧式看涨期权加上金额为的现金；组合B：一个价格为的欧式看跌期权加上一股标的价格为的股票。 这两个组合在到期时价值均为。由于组合A和组合B中的期权均为欧式期权，在到期日之前不能行权，因此两组合在任意时刻必须有同等的价值，就是说 （5.1.8）这一关系就是欧式看跌期权-欧式看涨期权的平价关系(Put-ca11 parity)该公式表明，欧式看涨期权的价值可以由一个具有相同行权价格和到期日的看跌期权价值推导得来，反之亦然如果该式不成立的话，将存在着套利机会看跌期权与看涨期权之间的平价关系仅适用于欧式朗权，但是也可以推导出不支付红利股票的美式
