《8.圆锥曲线上三角形面积最大(小)值问题的解法探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.圆锥曲线上三角形面积最大(小)值问题的解法探究（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)圆锥曲线上三角形面积最大(小)值问题的解法探究圆锥曲线上三角形面积最大(小)值问题的基本解法 若点A、B在曲线G上,点P是直线AB外的一点,关于ABP的面积问题,称为圆锥曲线上的三角形面积问题;其中,求三角形面积的最大(小)值问题是高考的热点,探究其解法十分必要.母题结构:己知点A、B在曲线G上,点P是直线AB外的一点,探究ABP面积最大(小)值的方法.解题程序:首先要分析三角形面积是由哪个变量所控制的,设出这个变量;用该变量表示三角形面积,从而得到三角形面积关于变量的函数;或借助于基本不等
2、式,或借助于基本函数性质,或借助于导数工具求最大(小)值. 1.借助于基本不等式 子题类型:(2015年浙江高考试题)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.()求实数m的取值范围; ()求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析:()设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点P(x0,y0),直线AB的方程为x=-my+n,代入+y2=1得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0=4m2n2-4(m2+2)(n2-2)=8(m2-n2+2)0,y0=x0=-m+n=;由点P在直线y=mx+上=+n=-,代入0得3m4+4m2-40m(-,-)(,+);()由直
3、线AB与x轴交点纵坐标为nSOAB=|n|y1-y2|=|n|=;由均值不等式得:=SOAB,当且仅当n2=m2-n2+2,即m=时,SAOB取得最大值.点评:借助于基本不等式,求三角形面积的最大(小)值,充分体现了不等式与解析几何的交汇,符合高考命题原则. 2.借助于基本函数 子题类型:(2013年浙江高考试题)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1、l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.()求椭圆C1的方程; ()求ABD面积取最大值时,直线l1的方程.解析:()由2a
4、=4,b=1椭圆C1:+y2=1;()设A(x1,y1),B(x2，y2),D(x0,y0),直线l1:y=kx-1,则点O到直线l1的距离d=|AB|=2=2;又l1l2直线l2:x+ky+k=0,代入椭圆C1的方程得(4+k2)x2+8kx=0x0=-|PD|=ABD的面积S=|AB|PD|=;设=t,则t,=(t+),当且仅当t=,即k=时取等号S的最大值=,此时,直线l1:y=x-1.点评:二次函数与双曲函数f(t)=at+的最大(小)值性质,是解决三角形面积的最大(小)值问题的基本工具. 3.借助于导数工具 子题类型:(2014年浙江高考试题)已知ABP的三个顶点在抛物线C:x2=4
5、y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.()若|PF|=3,求点M的坐标;()求ABP面积的最大值.解析:()由F(0,1),准线:y=-1;设P(x0,y0),则|PF|=y0+1=3y0=2P(2,2)或P(-2,2);由=3M(-,)或M(,);()设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线AB:y=kx+m,代入x2=4y得:x2-4kx-4m=0k2+m0,x1+x2=4k,x1x2=-4mM(2k,2k2+m),|AB|=4;由=3P(-6k,4-6k2-3m)(-6k)2=4(4-6k2-3m)15k2+3m=4-m;又由点F到直线AB的距离d=SAB
6、P=4SABF=4|AB|d=8|m-1|=;记f(m)=3m3-5m2+m+1(-b0)的离心率为,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.()求E的方程;()设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.3.(2006年山东高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线的距离为4.()求椭圆的方程;()直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当三角形AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.4.(2014年山东高考试题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过
7、点A的直线l交于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|,当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.()求C的方程;()若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明:直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)ABE的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.5.(2012年浙江高考文科试题)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.()求p,t的值; ()求ABP面积的最大值.6.(2012年浙江高考理科试题)如图,椭圆C:+=1
8、(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.()求椭圆C的方程；()求ABP的面积取最大时直线l的方程. 5.子题详解:1.解:()由e=,=2a2=16,b2=8椭圆的标准方程:+=1;()设Q(t,0),P(x1,y1),M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=(x-2x0)2-x02+8x1=2x0;由(x1,-y1)S=|2y1|x1-x0|=2.2.解:()设F(c.0),则=c=,又=a=2b=1E的方程:+y2=1;()当lx轴不合题意,故设直线l:y=kx-2,P(x1,y1
9、),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1得:(1+4k2)x2-16kx+12=0x1+x2=,x1x2=|PQ|=|x1-x2|=,又点O到直线PQ的距离d=OPQ的面积S=|PQ|d=,设=t(t0),则S=1,当且仅当t=2k=时,等号成立直线l:y=x-2.3.解:()设椭圆方程为:(ab0).则b=c,且=4a2=2,且b=c=1,所以,椭圆方程为+y2=1;()设直线l的方程为y=kx+2(不妨设k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则由(1+2k2)x2+8kx+6=0|AB|=2(|k|).点O(0,0)到直线的l:kx-y+2=0距离d=.所以,SAOB=|A
10、B|d=2,令=t(t0)k2=(t2+6)SAOB=2=,当且仅当t=2,即k=等号成立时,此时,直线l的方程为:y=x+2.4.解:()由2|3-|=3+p=2抛物线C:y2=4x;()(i)设A(a2,2a),E(t2,2t),则直线l1:ty=x+t2;由l1l直线l:y-2a=(x-a2)D(a2-2at,0);由|FA|=|FD|a2-2at-1=a2+12at=-2直线AE:y-2a=(x-a2)定点F(1,0);(ii)由直线l:ty+2=x-a2,代入y2=4x得:y2-4ty-4(a2+2)=0|AB|=4;由点E到直线的l距离d=ABE的面积S=|AB|d=2(t2+a2
11、+2);由t2+a2-2at=2S的最小值=16.5.解:()由2pt=1,1+=p=,t=1;()设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点Q(m.m),由y12=x1,y23=x2(y1-y2)(y1+y2)=(x1-x2)kAB=直线AB:y-m=(x-m),代入y2=x得:y2-2my+2m2-m=0=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m|AB|=2;由点P到直线AB的距离d=ABP的面积S=|AB|d=|1-2m+2m2|;设=t,则0t,S=t(1-2t2);设f(t)=t(1-2t2),则(t)=1-6t2fmax(t)=f()=ABP面积的最大值=.6.解:()由e=,(c+2)2+1=10a=2,c=1椭圆C:+=1;()设A(xA,yA),B(xB,yB),由直线OP:y=xR(2t,t)直线AB:+=t2+,即3x+2y=8t,代入椭圆C的方程得:12x2-48tx+64t2-12=0|AB|=;由点P到直线AB的距离d=ABP的面积S=|AB|d=|1-t|=;设f(t)=(t-1)2(3-4t2)(-t),则(t)=(t-1)(6+8t-16t2)当t=时,f(t)取最大值,此时,直线l:3x+2y=2(1-).
