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1、02-6 二次函数压轴题(初中解法)例02-39（2015毕节-16分/总分150） 动点 正方形 求新抛物线 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(1，0)，B(3,0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M,（1）求抛物线的解析式；（2）若直线A M与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。 解析：前两问很简单。第(3)问很有意思，很罕见的题目，罕见的方是居然与前面的二次函数没有一毛钱关系，就是用了A、B两个点的坐标，一个全新的题目。首先，如果
2、我们不知道一个二次函数的开口方向，那么就存在两种可能性，也就随之产生讨论。因为已经有了两点的坐标，所以可以写出含有一个未知数的解析式。其次，题问已经给出了正方形四个顶点的顺序，显然AB只能是对角线，顶点P有可能在上，也有可能在下，应该取决于抛物线的开口方向、最后，用几何方法如何确定正方形，换几个角度讲就是正方形的性质或判定是什么？我们有了水平的对角线AB，又P点和Q点关系x轴对称，说明对角线PQ也垂直AB且被与AB重合的x轴平分，那么只有当对角线互相平分、垂直、相等，四边形才是正方形，只需要列一个相等后算出我们要的东西。解：(1)A(1，0)，B(3,0)在抛物线y=x2+bx+c上，解该方程
3、组得，该抛物线解析式为y=x22x3.(2)抛物线y=x22x3的顶点为M(1,4)，M(1,4)关于x轴的对称点为M(1,4).设直线AM的解析式为y=mx+n，又A(1，0)和M(1,4)在该直线上 ，解该方程组得，AM的解析式为y=2x+2.C点是抛物线y=x22x3与直线y=2x+2的交点x22x3= 2x+2，解该方程得x=1或x=5，则对应的C点坐标为(1,0)或(5,12) 又(1,0)为直线和抛物线另一个交点A的坐标，C(5,12).过C点作x轴的垂线CH，垂足为CH，C(5,12)，CH=12.SCAB=ABCH=5(1)12=36. /题目不难，但写的内容还不少(3) /下
4、面老曾用的是二次函数的交点式，这个课本没有提到，其实源于二次方程得解所求抛物线经过A(1，0)，B(3,0)，设该抛物线解析式为y=a(x+1)(x3)=ax22ax3a该抛物线的顶点P的纵坐标为=4aP点关于x轴对称的Q点的纵坐标为4a，PQ=./代数方法，为了省事Q为抛物线顶点P关于x轴的对称点，又A点和B点为该抛物线与x轴的两个相异的交点PQAB，其PQ与AB互相平分要使四边形APBQ为正方形，须PQ=AB=5(1)=6，又PQ=6，解得a=存在过A、B两点的抛物线y=(x+1)(x3)或y=(x+1)(x3)，使得四边形APBQ为正方形.例02-40（2015临沂-13分） 动点 菱形
5、 面积最大 OxyACB在平面直角坐标系中，O为原点，直线y =2x1与y轴交于点A，与直线y =x交于点B, 点B关于原点的对称点为点C.（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t（1t1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由.解析：啥是菱形？判定一：对角线互相平分且垂直的四边形；判定二：四边相等的四边形。再看这个菱形的字母顺序，显然PQ是对角线，BC也是对角线，而且BC是明确的，那么我们只要让PQ垂直于BC，且互相平分就可以，但具体如何实现呢？这里，老曾指的是用几何方法，
6、而非高中的代数方法。最后看这个最大值，一看这个两头夹的不等式，而且还没有半个等号，所以老曾猜测还是一个二次函数的配方法，且最大值对应的t值一定在正负一之间。解：（1）A点为直线y =2x1和y轴的交点，y=201=1，A(0, 1).B点为直线y =2x1和y =x的交点，解方程组得，则B(1,1).C点为B点关于原点对称的点，C(1,1).设经过A(0, 1)、B(1,1)、C(1,1)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c则有，解该方程组得所求抛物线解析式为y=x2x1. (2)B点和C但关于原点O对称，BO=CO，即O点为线段BC的中点 又要使四边形PBQC为菱形，PQBC，且PQ经
7、过O点，即O为该菱形的中心 又直线BC的解析式为y=x，直线PQ的解析式为y=x，又P点位于抛物线y=x2x1上设P点横坐标为m，则P(m, m2m1)，又P点也在直线y=x上m= m2m1，解该方程得：m=1P点坐标为(1+,1+)或(1,1). (3) 作PHBC于H点， P点和Q点关于O点对称，PO=QO又B点和C点关于O点堆成，BO=CO四边形PBQC为平行四边形，又BC为该平行四边形对角线S四边形PBQC=2SPBC= 2BCPH= BCPH，又BC为定值PH有最大值时，S四边形PBQC有最大值.设P点横坐标为t，P点在抛物线y= t2t1上，P(t, t2t1).过P点作PEy轴，
8、交直线y=x于点E，则E(t,t)过P点作PFx轴，交直线y=x于点F，则F(t2+t+1,t2t1).P点横坐标t必须满足1t1，P点不高于线段BC，PE=t(t2t1)=t2+1，PF=t2+t+1t=t2+1PE=PF又PEy轴，PEx轴，又PFx轴，PEPF，即EPF=90 EPF为等腰直角三角形，其斜边上的高PH=PE=(t2+1)显然当t=0，PH有最大值，且满足101当t=0时，四边形PBQC有最大值.小总结： 首先建议你看一下参考答案，当然老曾的答案的过程是最完整的，原来的参考答案第几何代数化的工作做的并不好，不过得分点倒是比较清楚。 你会发现，老曾喜欢用三元一次方程组来求解二
9、函的解析式，虽然有时会复杂一些，但这样做的好处是不用去想思路，硬算就可以，强度不大。 第(2)一次性求出两个P点的方法， 其实有些高中的技巧在里面，初中的二函结合几何的题目，一般而言，如果存在多解，是要一个一个的找到后在进行几何角度的证算，参考也是一次求出来两个解。因为在求两个在同一水平直线或竖直直线上点的距离，当你不知道那个点在左或那个点在上面，则两个带有字母的式子相减，的确要加绝对值，这样一般而言会算出两个值，而纯几何做法就是两个存在都找到后再进行证算。 最后一问，参考答案给出多种方法，同学可以自己看看，无非就是几何构造能力，其核心无非是横平竖直。老曾的解答过程首先论证其实平行四边形，而参
10、考没有，所以严格讲，不是平行四边形，你就不能用底乘高的面积公式。现在你应该清楚，所谓的纯几何方法，进行两点距离的计算，这两点一定是在同一水平直线或同一竖直直线上，这样就可以进行减法求得两点距离，但减之前一定要弄清楚谁减谁，而且这个也应该要理由。 当然，你最后一问可以点直线的距离公式，一步就出来高的表达式。 还有一个问题，参考答案都给出了面积最大值的具体数，而老曾没有给，有问题吗？严格地讲，题目并没有要求这个最大值，而是要求这个最大值对应的t值，所以老曾只求这个t值。 例02-41（2015泉州-13分） 动点 平行四边形 线段运算 抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=1的距
11、离相等，你可以利用这一性质解决问题问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=1的垂线，交于E，F两点（1）写出点C的坐标，并说明ECF=90；（2）在PEF中，M为EF中点，P为动点求证：PE2+PF2=2(PM2+EM2)；已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1PD2，试求CP的取值范围 解析：先看题目中给出的性质，这个性质的给出，其实就是让你回避高中方法，同时让你有一个解题思路。先看第(1)问前一个问题，这个就是单纯地考察一次函数，但更是给你一个藤的起点。后半个问题，要弄出个90
12、，一般而言，我们在几何中证算一个角为90有如下几种方法：一是勾股逆定理；二是证与某个直角相等（平行，全等）；三是在圆中的垂径定理；四就是证其所在三角形中另外两个角的和为90。那么这个直角证明弄？如果是勾股拟定理的话，计算CE和CF的长度必须用到两点距离公式，另外A、B点目前无具体坐标，势必增加你的计算难度，再看看这个直角的证算值多少分，充其量两份，所以没有那么复杂；证明看也不存在与这个角有关的平行和全等；只有第四种了，我想你思路已经有了顺藤摸吧。P是一个动点，什么样的一个动点？是在抛物线上？如果题目没有错误，只能理解为P是一个很随意的点，而这里P点只与E、F、M三个点有关系，如果P在直线EF上
13、，则构不成PEF，所以P点只能在直线EF之上或之下的范围内活动。你先差不多画上一个，之后你应该能想到是勾股定理，如此多的线段平方！要用勾股，必须有直角，从P点向直线EF作垂线，就可以用勾股定理，这时你应该能感觉到你找到思路了。但你会发现，P点位置的不同会导致H点的位置的不同，而H点位置的不同会导致直角边的大小关系不同，所以你觉得应该要分类讨论，其实在二函的题目中，由于多解的存在，分类讨论很常见。如果P在EF的下方呢？你会发现不影响之前的线段关系，所以以EF以上的点为例就可以了。那么我们分为三种情况，一是H点在E点的左侧，二是在线段EF上，三是在F点的右侧。最后一小问，如果PE=PF，则说明P点
14、在线段EF的垂直平分线上，且不能是M点。如果EF为对角线，则M为对角线的中点，所以CD过M点，且D点在EF的下方。由于PF的长度有了限制，P点的活动范围有了限制，那么P点的位置基本定了下来，这样的P点应该有两个，一上一下，具体最终是两个还是一个，还要题问中的限制条件。所以，P点的变动只与A、B两点的位置有关，因为二函是定的，直线AB是不定了，所以最后应该整理出一个含有k的式子，再讨论k的变化会带来什么。但无论如何，你要把图画出来，只看现在这个图是不够的。解：（1）C点是直线AB与y轴的交点，y=k0+1=1，C(0,1). 根据题目所给出的性质，有AE=AC，BC=BF.AEx轴，AEy轴，AEC=ECO又AE=AC，AEC=ACE ECO=ACE同理可证：FCO=BCF180=ECO+ACE+FCO+BCF180=2ECO+2FCO180=2(ECO+FCO)180=2ECF90=ECF，即ECF=90. (2)M为EF的中点，EM=FM=EF.过P点作PHEF，垂足为H，由于P点不固定导致各线段数量关系的不同，所以分三种情况讨论：情况1：H点在EF的延长线上，如上图左PHEF，PHE=90，PHE、PHM、PHF均为直角三角形在R
