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1、试卷一一、判断题。在每小题后面的小括号内打“V”号或“X”号1任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。（ ）2. 方阵A与其转置阵AT有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（）3设A为n阶行列式D =1 a I中兀素a的代数余子式，若a = -A （i, j = 1,2,n）,ijijijijij则D丰0。()4.若n ,n，,耳为线性方程组ax = 0的基础解系，则与耳，耳，耳等价的向量组1 2 r1 2 r也为此方程组的基础解系。()5.设a,b,c是互不相等的数，则向量组(1,a,a2,a3)，(1,b,b2,b3)，(1,c,c2,c3)是线性无关的。()二、 单项选择题1. 设
2、n阶方阵A,B, C满足关系式ABC = E，则成立。A. ACB = E ；B. CBA = E ；C. BAC = E ；D. BCA = E .2. 设n维向量a ,a，,a （m 2)阶方阵，则必有。A.I A + B I=I A I + I B I ；B.AB = BA ；C.I AB I=I BA I9D.(A + B)-1 = B-1 + A-15. n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A. R(A)二 R(B)；B. A与B的正惯性指数相等;C. A， B 为正定矩阵；D. A,B 同时成立。三、填空题1 a,卩,Y为三维列向量，已知三阶行列式I4y-a,卩-2,2a I二
3、40，则行列式I a, P, 丫 I二。2. 五阶方阵A的特征值为1, 1, 2, 2, 3, E为五阶单位阵，则I A - 4E I二。(o2 A、-13. 设A,B为同阶可逆矩阵，贝U=。IBo 丿4. 设向量组 a = (1,2,3,4)T , a = (2,3,4,5)t , a = (3,4,5,6)T , a = (4,5,6,7)t，则1234R(a ,a , a ,a )=。1234r i 5. 若方阵A相似于- 2 ，则I A-1 I3 =。I2丿6 .已知A,B均为n(n 2)阶矩阵，A*,B*分别为它们的伴随矩阵，如果R( A)二 n -1, R(B)二 n，贝U R(A
4、 * B*) =。2 x + y + z = 0,7若齐次线性方程组 ax - z二0,存在非零解，则系数a =。x + 3 z 08.设A为三阶实对称矩阵，其特征值分别为1, 0,-3。已知与特征值1,-3对应的特征向量分别为(1, 0, 1)t和(1, 1, -1)t，则与特征值0对应的一个特征向量为。9 已知二次型 f (x , x , x ) = x 2 + 2 x x + 2 x 2 + 6 x x + 9 x 2 ，它的标准形1231122233为 。10.设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1, 2, 3,n。则当t时，矩阵tE - A为正定矩阵。四、计算题1.卩=(1,3,-3)T
5、,叫=(1,2,0)T, a 2 = (1, a + 2,-3a)T, a 3 = (-1,-b - 2, a + 2b)T试讨论a, b为何值时(1) P不能用a ,a ,a线性表示；123(2) P可由a ,a ,a唯一地表示，并求出表示式；123(3) P可由a ,a ,a表示，但表示式不惟一，并求出表示式.1232 设a = (2,-1,1)，求(1) a Ta的特征值与特征向量；(2) 一正交阵Q，使得QtataQ为对角阵。3.已知R 3中的二组基a= (1,2,1) T ， a = (2, 3,3) T ，a = (3,7,1) T ；123P= (3,1,4)T ， P = (5
6、, 2, 1)T ，P = (1,1,- 6)T.123求由基a ,a ,a到B , p , p的过渡矩阵及坐标变换公式；1 2 3 1 2 3 求向量p二2p -p -p在基a ,a ,a下的坐标。 1 2 3 1 2 3求向量a二a -2a + 4a在基p ,p ,p下的坐标.1 2 3 1 2 3五、 证明题已知平面上三条不同直线的方程分别为l : ax + 2by + 3c 0, l : bx + 2cy + 3a 0,l : cx + 2ay + 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c =0.试卷二一、单项选择题1.设A为3阶方阵，数=-2, IAI =
7、3,则XAI =()且 IAIhO,A24;B-24;C6;D-6.2.设 A 为 n 阶方阵, n1+n2+n3=n,则 A-1=(A-11A. A A-12B.AA-12C. A I A-1I 3A-1)3丿( A -1I3A-12D.AA-12A3-1 丿A-11A1-1 丿3设 A 为 n 阶方阵, A 的秩 R(A)=rn, 那么在 A 的 n 个列向量中()A. 必有r个列向量线性无关；B. 任意r个列向量线性无关；C. 任意r个列向量都构成最大线性无关组；D. 任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.4. 若方程组AX=0有非零解，则AX=0(HO)(A. 必有无穷多组解；
8、B. 必有唯一解；C. 必定没有解；D. A、B、C 都不对.5.设A、B均为3阶方阵，且A与B相似,A的特征值为1, 2, 3,则(2B)-i特征值为()1)1 .C. 1, 2, 3；D. 2, 1,-3A. 2, 1,；B.-,224636. 设 A, B 为 n阶矩阵,且R(A)=R( B), 则()A. AB=BA；B. 存在可逆矩阵P,使P-iAP=B;C. 存在可逆矩阵C,使CAC=B;D. 存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B.7.实二次型 f (x ,x ,x )= x2 + 2x2 + x2 - 2x x 是( )i 23 i 23 i 2A. 正定二次型；B. 半正定二次型；
9、C. 半负定二次型；D. 不定二次型.8.设 A, B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵,则必有()A. A的列向量线性相关,B的行向量线性相关；B. A的列向量线性相关,B的列向量线性相关；C. A的行向量线性相关,B的行向量线性相关；D. A的行向量线性相关,B的列向量线性相关.二、填空题若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于12.设n阶矩阵A满足A2-2A+3E=O,则A-1=4.设y是非齐次方程组AX=b的一个解向量,0a ,a，,a是对应的齐次方程组12n-rT( T( 、T0, 3, 1, 2,a =1, -1, 2, 4,a =3, 0, 7, 13，则
10、a ,a ,a 的一1 丿2( 丿3( 丿1233.设a1个最大线性无关组为AX=0的一个基础解系，则y , a , a，,a 线性；0 1 2n-r5. 设九、, 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向 量分别为X1，X2，则X1+X2矩阵A的特征向量。,6.设A为n阶方阵，若A有特征值九1,九2,九n，则|A2+E|=7. n 维向量空间的子空间 W=(x1， ,x2, , xn):fx + x + + x = 012nx + + x = 02n的维数是8.设 A 二(a,a,a ), B 二(a+a +a ,a + 2a+ 4a,a+ 3a+ 9a)如果IAI=1,那么12
11、3123123123IBI =.三、解矩阵方程2X = AX + B，（1 10、(1 - 2、A 二-1 2 1，B =-30厂100丿 0 3丿其中x+x+x二 1,123 x+ Xx+x=九,123x+x+ X2 x=X.123四、设方程组问当九取何值时，1）方程组有唯一解2）方程组无解；3) 方程组有无穷多解，求其通解(用解向量形式表示).五、已知二次型,f (x ,x ,x ) = 5x2 + 5x2 + 3x2 一2xx + 6xx 一6x x1231231 21 32 3(1) 写出此二次型对应的矩阵 A; 求一个正交变换x=Q y,把二次型f(x1, x2, x3)化为标准型.六、设a 1 = (1,1,1), a 2 = (0,1, 2)，a 3 = (2, 0, 3)是R 3中的向量组，用施密特正交化方法把 它们化为标准正交组.七、设A为n阶方阵，求证:A2 = A的充分必要条件是: R(A)+R(A-E) = n.试卷一参考答案一、1 .V 2 .二、1. D 2.六、1.-52.-363.O 2A B O丿-14.25.| A-1 |3 =-6.R(A* B*)17.a 2X 3. X 4.D3B4.OB-i + A-1O 丿21o64
