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1、2020-2021学年高一数学必修二第 8章立体几何初步8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1.了解空间两直线间的位置关系.2理解空间直线与平面的位置关系.3掌握空间 平面与平面的位置关系.知识梳理粧理教材务赛基础知识点一 空间两直线的位置关系1. 异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2) 异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法 定义法；两直线既不平行也不相交.2. 空间两条直线的三种位置关系相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 丿共面直线平行直线：在同
2、一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二 直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a在平面a外直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a aa H a=A图形表示知识点三 平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交a Q 0=1图形表示思考 平面平行有传递性吗？答案有若a, 0, y为三个不重合的平面，且a”，0卩，则all y1. 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(X )2. 两条直线无公共点，则这两条直线平行.(X )3. 若直线1上有无数个点不在平面a内，则1a.( X )4. 若两个平
3、面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.( X )一、两直线位置关系的判定例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,(1) 直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2) 直线A1B与直线B1C的位置关系 ；直线D1D与直线D1C的位置关系是；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，Afl/BC, Ap=BC, A四边形A1BCD1为平行四 边形，A1BD1C.(2) 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.(3) 直线D1D与直线DC相交于点D1.(4) 直线AB与直线B1C不同在任何一
4、个平面内.反思感悟 判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析 可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A B C D中，A D所在直线为a, AB所在直线为b,已知 a和b是异面直线,b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A B C D中的B C, CC , DD.故a和c可以平行、相交或异面.b H二、直线与
5、平面的位置关系例 2 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A. 直线上所有的点都在平面外B. 直线上有无数多个点都在平面外C. 直线上有无数多个点都在平面内D. 直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是() 如果a, b是两条直线，ab，那么a平行于经过b的任何一个平面； 如果直线a和平面a满足all a,那么a与平面a内的任何一条直线平行； 如果直线a, b和平面a满足ab, all a, ba,那么bl a.A.0 B.1 C.2 D.3答案 (1)B (2)B解析 (1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)如图，在正方
6、体 ABCD-A B C D中,AABB ,AA在过 BB的平面 ABB A 内，故命题不正确；AAI平面BCC B , BCU平面BCC B,但AA不平行于BC, 故命题不正确；假设b与a相交，因为alb,所以a与a相交，这与al a矛盾，故ba, 即命题正确.故选B.反思感悟 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外， 我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于 作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练 2 下列说法： 若直线l平行于平面a内的无数条直线，则U/a； 若直线a在平面a外，则a/a； 若直线a/b, bua，那么
7、直线a平行于平面a内的无数条直线.其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 对于，直线l虽与平面a内无数条直线平行，但l有可能在平面a内，1不一定 平行于a,错误；对于，直线a在平面a外包括两种情况：a/a和a与a相交，.：a 和a不一定平行，错误；对于，*.*a/b， bua,那么aUa或a/a， a与平面a内的无 数条直线平行， 正确.三、平面与平面的位置关系例 3 在以下三个命题中，正确的命题是() 平面a内有两条直线和平面“平行，那么这两个平面平行；平面a内有无数条直线和平 面B平行，则a与B平行；在平面a，“内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平
8、行或相交A.B.C.D.答案 C解析如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对于，平面AAD中，AD/平面 A1B1C1D1,分别取AA, DD1的中点E，F，连接EF，则EF/平面AfD，但平面AADD 与平面A1B1C1D1是相交的，交线为AD,故命题错；对于，平面AADD中，与平面 A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AADD与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线 AD,故命题错.命题是正确的.反思感悟 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关 命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置 关系的有效
9、方法.跟踪训练3已知两平面a, B平行，且a a,下列四个命题： a与B内的所有直线平行；a与B内无数条直线平行； 直线a与B内任何一条直线都不垂直；a与B无公共点.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 中a不能与“内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故错误； 正确；中直线a与“内的无数条直线垂直，故错误；根据定义a与“无公共点，故 正确.随堂演练恙咄巩固学琳致用1. 如果直线a平面a,那么直线a与平面a内的(请选择最贴切的)()A. 条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案 D解析 直线a平面a,则a与a无公共
10、点，a与a内的直线均不相交.2. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A. 都平行B. 都相交C. 在两个平面内D. 至少与其中一个平面平行答案 D解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二 是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.3. 下列命题中,正确的有()平行于同一直线的两条直线平行； 平行于同一条直线的两个平面平行； 平行于同一个平面的两个平面平行.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个答案 C4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作()A.0 个 B.1 个C.0 个或 1 个D.1 个或 2 个答案
11、C解析 平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况： 直线与平面相交，可以作0个平行平面； 直线与平面平行，可以作1个平行平面.5. 下列命题： 两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； 若l, m是异面直线，la, m“，则a“.其中错误命题的序号为.答案 解析对于，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故错误；对于， 借助于正方体 ABCD-A1B1C1D1，AB平面 DCCR, B1C1 平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1 异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故错误.-课堂小结1. 知识清单：(1)两直线的位置关系. (2)直线与平面的位置关系.(3)
12、平面与平面的位置关系.2. 方法归纳：举反例、特例.3. 常见误区：异面直线的判断.课时对点练注重賊基强化落实%寸基础巩固1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案 D解析 若直线a和b共面，则由题意可知a/b;若a和b不共面，则由题意可知a与b是异 面直线.2. 与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D平行、相交或异面答案 D解析 与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3. 棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案 A4
13、. 长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.12 对 答案 C解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC】异面的 棱所在的直线，只要去掉与AC】相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，.与AC】异面的 棱有BB.Ap.A”，BC，CD，DD x，长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 6 对，故选 C.5. (多选)以下四个命题中正确的有( )A.三个平面最多可以把空间分成八部分B. 若直线a平面a直线b平面A则“a与b相交与“a与0相交等价C. 若0=1直线a平面a直线b平面0且anb = P，则
14、PlD若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC解析 对于A，正确；对于B，逆推“ a与0相交”推不出“a与b相交”，也可能a / b， 故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却 不共面，故D错误所以正确的是AC.6若点A6a B a C a则平面ABC与平面a的位置关系是.答案 相交 解析丁点A b a C a平面ABC与平面a有公共点，且不重合，平面ABC与平面a的位置关系是相交.7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是（填序号）.不可能只有两条交线；必相交于一点； 必相交于一条直线； 必相交于三条平行线.答案 解析 空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能 交于一点 .8在下列图中，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN 是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）解析题图中，GH/MN；题图中，G，H，N三点共面，但M年平面GHN,所以GH与MN异面；题图中，连接GM,则GM/HN,所以GH与MN共面；题图中，G
