线性代数笔记

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1、线性代数笔记5 狰殼骖吓蘢萇蝉。第三章 向量空间 第四章 线性方程组 32 鑭铊錕纸諑镏漬。49 擊盘綴靜瀕鐲鯖。第五章 特征值与特征向量错误 ! 未定义书签。 镂數鑑肾詒妪拢。第一章 行列式 第二章 矩阵第一章 行列式1、3、1 行列式得性质给定行列式, 将它得行列互换所得得新行列式称为 D 得转置行列式，记为性质 1 转置得行列式与原行列式相等。即（ 这个性质表明 :行列式对行成立得性质 对列也成立 ,反之亦然 ）性质 2 用数 k 乘行列式 D 得某一行（列）得每个元素所得得新行列式等于kD。推论 1 若行列式中某一行（列）得元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中

2、某一行（列）得元素全为零，则行列式得值为0。 壇沩惮辇镳唤昼。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质 3 行列式得两行（列）互换，行列式得值改变符号。以二阶为例推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式得值为零。性质 4 若行列式某两行（列）得对应元素成比例，则行列式得值为零。性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素得与，则行列式可分解为两个 行列式得与，注意 性质中就是指某一行（列）而不就是每一行。性质 6 把行列式得某一行（列）得每个元素都乘以 加到另一行（列），所得得行列式 得值不变。条悶統沖糶铪剛。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式=(x2-x1)(x3

3、-x1)(x3-x2)1、 4 克莱姆法则定理 1、4、1 对于 n 阶行列式DM 0,则方程组定理 1、4、2 如果 n 个未知数， n 个方程得 线性方程组 得系数行列式 有惟一得解 :定理1、4、3如果n个未知数n个方程得齐次方程组得系数行列式 Dm0,则该方程组只有 零解，没有非零解。 溆嬷鍰谝颉辭珑。推论 如果 齐次方程组 有非零解,则必有系数行列式 D=0。第二章 矩阵一、矩阵得运算1 、矩阵得加法设 A= ( aij ) mKn , B= (bij) mixn，则 A+B= ( aij+bij) rrKn矩阵得加法适合下列运算规则：( 1 )交换律：A+B=B+A( 2 )结合律

4、：( A+B ) +C=A+ ( B+C )(3) A+0=0+A=A此处0表示与A同型得零矩阵，即 A= (aij ) mxn , O=OnKn(4) 矩阵 A= ( aij) rrixn,规定-A= ( -aij) rrix n,(称之为 A 得负矩阵)，则有 A+ ( -A) = ( -A ) +A=0 僉凫鯨坠劑风夹。2、矩阵得数乘设 A= ( aij ) rm n , K 为数，则KA= ( Kaij) nn 矩阵得数乘适合下列运算规则：( 1) K ( A+B ) =KA+KB(2) (K+L)A=KA+LA(3) (KL)A=K(LA)( 4) 1*A=A(5) 0*A=0 (左

5、端得零就是指数 0，而右端得“ 0”表示一个与 A 行数列数相同得零矩阵。 )3、矩阵得乘法设 A= ( aij ) mK n , B= ( bjk ) nxi，贝UA*B=C= ( cik) mK l 其中 C=S aij bjk (j=1，n)注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵得列数等于第二个矩阵得行数； 矩阵乘法不满足交换律 ， 即AB不一定等于BA ;矩阵乘法有零因子，即 A工0 (零矩阵)，B工0 (零矩阵)，但有可 能 A*B=0 (零矩阵) 钦驥謄藶鄔龚镕。矩阵得乘法适合以下法则：(1)结合律： ( AB )C=A( BC)( 2)分配律( A+B ) C=AC+BCC( A+B

6、) =CA+CB(3) k (AB) = ( kA ) B=A (kB )，此处 k 就是一个数。由于矩阵乘法得结合律，故对于方阵A来说，A得方幕就是有意义得，即Ak=A*AA共k个 A 相乘，从而有(1) AkAl=Ak+l(2) (Ak)l=Akl( 3) InA=AI n=A4、矩阵得转置将矩阵A得行变成列，列变成行得到得矩阵称为A得转置矩阵，记作 AT或A/注意A就是nx n矩阵，则AT为n x m矩阵 矩阵得转置适合下列运算法则：1)( AT)T=A2)( A+B)T=AT+BT3)( kA )T=kA T4)( AB )T=BTAT5、方阵得逆矩阵1、可逆，且AA -1=A -1A

7、=E2、AB可逆,。腽价时囅顾養纖。3、也可逆，且A-1）k=（ Ak）-14、kA也可逆，且。（注：K不能为0）5、 消去律 设P就是与A, B同阶得可逆矩阵，若 PA=PB则A=B若0, ab=ac 贝U b=c。,并6、设A就是n阶可逆方阵。定义定义则有，其中 k，l 就是任意整数。絆锂涠7、设 A 就是 n 阶可逆方阵，则瘗铍钆綰。2、3、1 逆矩阵得定义定义2、3、1设A就是一个n阶方阵。若存在一个 n阶方阵B使得则称A就是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称若这样得B不存在，则称A不可逆。定理2、3、1可逆矩阵A得逆矩阵就是惟一得。 颀粝闶鉭撻跄縹定理2、3、2 n阶方阵A可逆得充分必要条

8、件就是，且当时，o推论设A, B均为n阶方阵，并且满足 AB=E则A,B都可逆，且錯擞幟糝銃龇镭。2、4、1 分块矩阵得概念对于行数列数较高得矩阵 A,为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线与竖线将其分成若干个小矩阵。 每个小矩阵称为A得子块，以子块为元素得形式上得矩 阵称为分块矩阵。 闖輥雛詆编縵殼。2、4、3 几个特殊得分快矩阵得运算（1）准对角矩阵方阵得特殊分块矩阵形如得分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。2）两个准对角（分块对角）矩阵得乘积均为可逆3）准对角矩阵得逆矩阵若阵。可逆，且諜谕须淵縝棗鐲。（4）准上（下）三角矩阵得行列式可以证明 （1） 用初等行变换

9、方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（2）在求矩阵得秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化 行阶梯形矩阵 鏝讲滄鵪魉垲芦。定义 2、 5、1（线性方程组得初等变换）称下列三种变换为线性方程组得初等变换。（ 1）两个方程互换位置；（2）用一个非零得数乘某一个方程；（3）把一个方程得倍数加到另一个方程上。 显然，线性方程组经初等变换后所得得新方程组与原方程组同解。 事实上，上述解线性方程组得过程，只要对该方程组得增广矩阵做相应得行变换即可。二、矩阵初等变换得定义定义 2、5、 2 分别称下列三种变换为矩阵得第一、第二、第三种行（列）初等变（1）对调矩阵中任意两行（列）得

10、位置；（2）用一非零常数乘矩阵得某一行（列）；（ 3）将矩阵得某一行（列）乘以数 k 后加到另一行（列）上去。 把行初等变换与列初等变换统称为初等变换。定义2、5、3如果一个矩阵 A经过有限次得初等变换变成矩阵B,则称A与B等价，记为 AB。等价具有反身性 即对任意矩阵A,有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。三、矩阵得行最简形式与等价标准形简单地说， 就就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型， 进而化成行最简形， 而经过 初等变换（包括行与列得）可以把矩阵化成等价标准形。阶梯形矩阵得定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行得下方；（

11、 2）各非零行中从左边数起得第一个非零元（称为主元）得列指标j 随着行指标得增加而单调地严格增加得矩阵称为阶梯形矩阵。 （每个阶梯只有一行） 賕幟鸫撻骋 癲颁。行最简形式以称满足（ 1）它就是阶梯形； （ 2）各行得第一个非零元都就是1；（ 3）第一个非零元所在列得其它元素均为零得矩阵为行最简形式。嘘檔唤殲顺奐硕。若允许再作初等列变换可继续得这最后得式子就就是 A得等价标准形。一般，任何一个矩阵得等价标准形都就是分块对角阵也可能为2、 5、2 初等方阵定义 2、5、 4 对单位阵施行一次初等变换所得到得矩阵称为初等方阵。 以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种 :显然，初等阵都就是非奇异阵。2、

12、 5、 3 用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则。于就是有求逆矩这表明，当对A作初等行变换将 A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同得初等变换则单位矩阵 E 将变成阵得初等变换法 :写出分块矩阵作初等行变换，A化成单位阵时， E 就化成为2、 5、 4 用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程得标准形ax=b (0)矩阵方程得三种标准形AX=BXA=B(3) AXB=C则解法：对第一类作分块矩阵对A作初等行变换，当 A变成单位阵时， 由于 B 做得就是同样得初等行变换， 则得到得就是对于第类得可先转化为第类得即由进而求出 X按上例得方法求出兴绺贯鯖总殇块。二、初等变换得性质定理 2、5、1 设线性方程组得增广矩阵经有限次得初等行变换化为为增广矩阵得方程组同解。