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1、2019版数学精品资料（北师大版）活页作业(四)数学归纳法1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5D6解析：当n取1,2,3,4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5.答案：C2用数学归纳法证明1n(nN，n1)时，第一步应验证不等式()A12B12C13D13解析：n1且nN，n取的第一个值n02.第一步应验证：12.答案：B3设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSkDSk解析：Sk1SkSk.答案：C4若f(n)1(nN)，则n1时f(n)是()A1BC1D以上答案均不正确解析：f(
2、n)共有2n1项，当n1时有213项，即f(1)1.答案：C5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，项数为n2n1.答案：D6用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，第一步验证当n1时，左边应取的项为_解析：当n1时，左边要从1加到n3，即1234.答案：12347已知每项都大于零的数列an中，首项a11，前n项和Sn满足SnSn12(n2)，则a81_.解析：SnSn12，S1a11
3、，S29，S325，Sn(2n1)2.利用数学归纳法可证明Sn(2n1)2.a81S81S80640.答案：6408已知f(n)1，nN，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2n1)f(2n)_.解析：f(n)有n项，最后一项为，f(2n)有2n项，最后一项为，f(2n1)有2n1项，最后一项为，f(2n1)比f(2n)多出的项为.答案：9设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论(1)解：因为a11，所以a2f(a1)f(1)，a3f(a2)，a4f(a3).猜想an(nN)(2)证明：易知，当n
4、1时，由猜想知正确假设当nk时正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，当nk1时也正确由，可知对于任何nN，都有an.10试比较2n2与n2的大小(nN)，并用数学归纳法证明你的结论解：当n1时，212412，当n2时，222622，当n3时，2321032，当n4时，2421842，由此可以猜想，2n2n2(nN)成立用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，左边2124，右边1，左边右边，不等式成立当n2时，左边2226，右边224，左边右边，不等式成立当n3时，左边23210，右边329，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2，那么当nk1时，2k1
5、222k22(2k2)22k22.要证当nk1时结论成立，只需证2k22(k1)2，即证k22k30，即证(k1)(k3)0.又k10，k30，(k1)(k3)0.当nk1时，结论成立由(1)和(2)，可知nN时，2n2n2.11用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：当nk时，34k152k1可被8整除；当nk1时，34(k1)152(k1)134k13452k1525634k125(34k152k1)答案：A1
6、2平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()AaBaCaDa解析：利用等体积法，四面体内一点和四个顶点连线将四面体分成四个四面体，这四个四面体体积之和等于大的四面体体积答案：B13用数学归纳法证明135(1)n(2n1)(1)nn时，第二步中nk1时，要证明的式子应为_.解析：当nk1时，左边135(1)k12(k1)1135(1)k1(2k1)答案：135(1)k1(2k1)(1)k1(k1)14设f(n)n3(n1)3(n2)3(nN)，则用数学归纳法证明f(n)能被9整除的过程中，f(k1)f(k)_.
7、解析：f(k1)(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k39k227k27f(k)9k227k27.答案：9k227k2715由下列不等式：1，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：猜想第n个不等式，即一般不等式为：1(nN)用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，1，猜想成立(2)假设当nk时，猜想成立，即1，则当nk1时，1.即当nk1时，猜想也正确，所以对任意的nN，不等式成立16一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为f(1)；当从A口输入自然数n(n2)时，在B口得到的结果f(n)是前一个
8、结果f(n1)的倍(1)当从A口分别输入自然数2,3,4时，从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的关系式，并证明你的结论；(2)记Sn为数列f(n)的前n项和，当从B口得到16 192 575的倒数时，求此时对应的Sn的值解：(1)由已知得f(n)f(n1)(n2，nN)，当n2时，f(2)f(1)，同理可得f(3)，f(4)，猜想f(n).(*)用数学归纳法证明如下：当n1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立假设nk(k4，kN)时，(*)成立，即f(k)，那么当nk1时，f(k1)f(k)，即f(k1)，当nk1时，(*)也成立综合所述，对所有的nN，f(n)恒成立(2)由(1)可得，n2 012.f(n)，S2 012.
