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1、第二章完全重构滤波器组X（Z ）子带 编码 的概 念可 以用 图2.1来 解释 。分析滤波器综合滤波器N子带编码系统N子 波 变 换 与 多 率 滤 波 器 组 是 有 着 密 切 的 关 系 ，Daubechies 利 用 离散滤波 器迭代 的方 法 构 造 了 紧 支 集 正 交 子 波 基 ，从而 使 子 波 由 滤波器的系数来决定，子波变换的内积运算转换为线性滤波 (卷 积 )的运算。 Mallat 在多率滤波器组的基础上用多分辨率分析的概 念 定 义 子 波 ，利 用 子 带 编 码 和 滤 波 器 组 的 概 念 提 出 Mallat 算 法 ， 使得子波变换成功地应用在信号处理领
2、域 。 为了 叙述 方便 和引 入子波变换的概念 ，首先来讨论子带编码中滤波器组的一 些重要 的结论。2 - 1 子带编码和滤波器组图 2.1信 号 x(n) 通 过 一 组 分 析 滤 波 器 组 ，由 于 要 减 小 带 宽 ，各 滤 波 输 出 分量用一新的奈奎斯特频率重抽样，产生子带信 号。各子带 信号 经过编码 、传输，在到达目的 地译 码 ，为了 重 构 原 信 号 ，必须 恢 复 原带宽，对由重抽样产生的各子带信号按原输入信号的抽样频率 插入零值 ，再经 过一 组 综 合 滤 波 器 组 ，将各 输 出 的 分 量 迭 加 形 成 重构信号。由于信号通过不同频带的滤波器，各子 带
3、信 号具 有不同频率分 量，在子 带分析和 综合中必 须 解 决 两 个 问 题：没有 混 迭 现 象和完全重构。无混迭的完全重构意味着在没有编码损失情况下 系统是位不变系统。在这种情况，也完全可能消除 幅度 和相 位的 失真 ，而达 到完 全重 构。子带编码系统中要解决的问题可以归纳为各不同频带的滤波 器之间在 频率域 上没 有 重 叠 ，即各 子 带 信 号 不 会 产 生 混 迭 现 象 ； 也即寻求各分析滤波器或综合滤波器 之间的关系；产生的 子带信 号经过插 入零值 和综 合 滤 波 器 滤 波 迭 加 后 能 否 恢 复 原 信 号 ；也即 各个子带信号能否完全重构 原信号，本章将
4、环绕这两个问 题来讨 论。-2双通道滤波器组的完全重构条件我们从最常用的双通道滤波器组系统讨论 。图 2.2所示 两通道 完全重构滤波器组的系统，信号x(n)(它的Z变换为X(Z)经过 两 通 道 的 分 析 滤 波 器 滤 波 产 生 y0 和 y1 再 隔 2 抽 样 成 为 分 析 信01号 。现 在 的 问 题 是 能 否 从 抽 样 后 的 分 析 信 号 恢 复 成 原 信 号 ? 图 2.2 的重构部分是将抽样后的分析信号隔 2加零后再经两通道综 合滤波器滤波迭加以恢复原信号 x(n)。X图 2.211图 2.2 双通道完全重构滤波器组中分 析时 的隔 2抽 样和 恢复 重构 时
5、 的隔 2加 零可 以看成 用f(n) 调 制 ， f(n) 由 下 式 给 出 :f(n)= 1(1 + e(n-ii).2(2.1)现讨论系统完全重构的条件。以 0通道为例 的信号为Sn)= y (2n) =-02。对 信 号 隔0y (n)0其Z变换为S(Z2)= -L(Z)+ Y (-Z)2 0 0若对sn)隔2填零，则其Z变换为2抽样后(2.2)(2.3)(2.4)Y (-Z)，在两样本之 0在Z变换域通道0Y (z)=込亍(n)z-n迟鸟厶上-2n =S(Z2).00n=0n=0由式(2.3)可知信号隔2抽样将产生混迭信号 间插入0值，在Z变换域中相当于将Z2代替Z, 具有下列关系
6、式 :Y (Z)=H (Z )X (Z)(2.5)00Y,(Z)=1(H (Z)X(Z)+ H (Z)X(Z)(2.6)0 2 0 0和X(Z )=1 h (Z )X (Z )+ H (- Z )X (- Z )1 (Z )(2.7)0 2 0 0 0显然H (-Z)X(-Z)是由(2.1)式中的e j Si产生的混迭，完全重构原 0信号必须消除混迭部分。通道1具有相同的关系式。因而X (Z)可写成xz)=丄 & (z)g (z)+ H (z)g (z)x (z)+20011i(2.8)H (-z)g (z)+ H (-z)g (z)Jx (-Z)l0 0 1 1从(2.8)式可见，重构信号X
7、是原信号X(Z)和调制混迭信号X(-Z)的 函数 , 即X(Z)=F (Z)X (Z)+ F (Z)X (-Z ).(2.9)01式中F (Z)=1B (Z上(Z)+ H (Z上(Z),(2.10)0 2 0 0 1 1F (Z)= 1 L (-Z上(Z)+ H (-Z)G (Z)1(2.11)1 2 0 0 1 1由于F (Z), F(Z)是线性时不变系统，因此，从(2.9)式可见双通道 01滤波器组的 完 全 重 构 的 充要条件是 F(Z) 是 纯延迟系 统 ，而 F(Z) 01-F (Z 丁1-H (Z) H (Z )G (Z 丁Z -F0(Z )1=2H (- Z ) H (- Z
8、)01G0(Z )10等于 零。 将 (2.10)， (2.11)式用矩阵表示式 可 写成 :(2.12)或(2.13)f(Z)=H T(Z)g(Z)=Z-k 01T , m式 中 f(Z) ,HT(Z)，g(Z) 是 式 (2.12)中 相 应 的 矢 量 和 矩 阵 ， T 表 示 矩 m阵的 转置 。 如 取g(Z)=H -T(Z)Z -k 01T ,(2.14)m即可满足完全重构的条件xz )= fT (z )tx (z ) X (- Z )=!z -k oL -1 (z )H (Z )x (Z ) X (-z)(2.15)mm=z-kX (z)H/Z)组成的矩阵，称为分析滤波式 中
9、Hm(z) 是 由 分 析 滤 波 器 Ho(z) ，o器矩阵，又由于含有H (-Z)和H (-Z)，故又称为混迭成份矩阵 o1aliasing component matrix 或 系统调 制矩阵 modulation matrix。 h (z) h (-z yH(Z) H(-Z),H (z )=m其行列式为|H (Z) = H (Z)H (-Z)- H (-Z)H(Z)= P(Z)- p(-Z), I m I 0101式 中 P(Z)=H(Z)H(-Z)式 :o1(2.16)1 o 1 ， (2.17)从 (2.14)式可见完全重构滤波器组满足下列形(2.18)G (Z J G (Z )1
10、式的重构条件不是唯一的，例如 R (z) G (z 讪(-Z ) H (- Z)0 1 0 1=C(ZH (z)= Z2k-1H (-Z -1),H (z )H (Z-J+ H (-Z )H Cz -1 )= 2o ooo代入(2.8)式也可得到完全重构滤波器组。又如H (Z)的逆矩 1 H (- Z) - H ：(zjH (Z)H (-Z)-H (-Z)H (Z)I-H (-Z) H (z)H -i (z )=mo1(2.18)(2.19)(2.2o)阵为(2.21)g (z )_ H (- Z )- H (Z )1G (Z )1-H (- Z ) H (Z )000m如果上式的分母即H(Z
11、)的行列式为纯延迟单元，且综合滤波器组 选为(2.22)代入 (2.8) 式可得(2.23)X，(Z)=LP(z)- P(-z)Jx (z)系统的传递函数为HZ)的行列式，如将(2.20)式代入P(z)- P(-Z)= 2Z-2k-1(2.24)为纯延迟单元。表 21为双通 道常 用 完 全重 构 的 正交 镜 象 滤 波器 组 的 比 较。 表中ALD表示混迭失真，AMD表示幅度失真，PHD表示相位失真。表 21双 通 道 常 用 完 全 重 构 的 正 交 镜 象 滤 波 器 组 的 比 较公式(2.22)公式(2.18)滤波器间关系式H (Z) =H (-Z)1 0G =H (Z)0 0
12、G (Z)=-H (-Z)1 0G 二Z-lH (Z-1)00G 二Z-lH (Z-1)11H =-Z-lH (-Z-1)0L是滤波器阶数H (Z)的相位响应线性非线性H (Z)的其他重要特性0H (Z-1) H (Z)是零相位0 0FIR半带滤波器正交镜象滤波器组 失真ALD抵销AMD消除APD消除ALD抵销AMD消除APD消除滤波器的符号N=H (Z)的长度N=H (Z)的长度实现整个分析/综合 系统所需的单位时间 的乘法次数N C直接形式，多1相位)2 0N (栅格式，多相位)2整个分析/综合系统 的群延迟N-11N-12 -3滤波器组的多相位表示式设滤波器的多相 位 表 示 式为H (
13、Z) = H(Z2)+ Z-1H (Z2)ii0i1式中H (Z2)表示只含H (Z)的偶标号系数(偶标号项之间为i0iH (Z2)表示只含H的奇标号系数(奇标号项之间为0 )，则i1H (Z2)=pH G) H(Z2)(12 )H1(Z2 )10 11 -1 1 _1 _11Z1H Z H (- Z )_ H 0(Z ) H0(- Z )11(2.25)0 )，2.26)即可得多相位矩阵H (Z和分析滤波器矩阵H(Z2)=打(Z)p1 11 _p 2 m1 1ZH(Z)之间的关系式m(2.27)分析滤波器矩阵和多相位矩阵的行列式之间有下列关系：|H (Z)| = Z-1|H (Z2)(2.2
14、8)mp和|H(Z) = H(Z)H(Z)-H(Z)H(Z)10(2.29)p00/ 11、/ 01x| 10Zl/2 IP (Z 1/2 )- P (-Z 1/2 U下面进一步说 明用 有 限冲 激响 应 合滤波器的完全重构的充要条件 度 为 M 和 M 的 FIR 滤 波 器01P(z)= H (z)h (-Z)J0込-P Z-i01ii= 0( FIR ) 分 析 滤 波 器 后 随 FIR 综 设 H0(Z) 和 H1(Z) 是 分 别 具 有 长 01(2.30)当p2iP(Z)- P(-Z)= 2鱼p Z -2i-i2i+li= 0M+M 为 偶 时 ，M =(1/2)(M +M ) ， 当 01为任 意，且Jop . 12hl1(2.31)01M+M 为 奇 时 ，M =(1/2)(M +M +1) 。 若 0101iz ki= k(2.32)时可得(2
