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1、第六章薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板 在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也 存在板件失稳的可能性。因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。设板的最小宽度为，厚度为儿当t/b1/51/8 时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影 响。当1/801/100t/b1/51/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以 忽略不计。当板极薄，t/bdxdydyaa+ 2 Nxxy a
2、xdydxdy(6.10)(6.11)6.2.1瑞利一里兹法瑞利一里兹法求解板的失稳荷载时要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。假定挠曲 面函数为=空 8 A 甲（x, y）（6.12）m=1 n =1将式（6.12 ）代入板总势能n的计算公式，积分后利用势能驻值原理，建立线性代数方程组也=0dA也=0dA12国=0dAmn方程组（6.13）有非零解的条件是系数行列式为零，则得到板的屈曲方程， 荷载。(6.13)可求出板的屈曲【例题6.1】用瑞利一里兹法求解图6.5所示单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两个加 载边和一个非加载边简支，另一非加载边自由。解:图6.5均匀受压三边简支一边自由板
3、因为Py = Pxy = 0，则由式（6.10）、式（6.11）可得板的总势能表达式 n =号 Ja Jb d 20 d2o)2 Jd/-2(1 -d 2d 2Xdx 2dy 2dxdy-1 J a 2 0 0 假定板的挠曲面函数dodx2dxdym冗x=Ay sina可验证符合几何边界条件:a时，=0=0。0将式（2）代入式（1），积分后得n = da 22a 2+6a 2p - m2 兀2sA 2x ab 312 a 2由势能驻值原理蚩=。得因为A丰0 ,所以Dm 2兀 2 b m 2兀 2 b 2+G -日) a2m 2 2 b 3 I 八-Px- = 0竺冬+ 6（1 -Q令m = 1
4、,可得px的最小值Px ,cr式中屈曲系数k=三|1 + 6（1 -旦）兀2,若R = 0.3代入，则k = 0.425 + b 2;a 2当a b时k = 0.425通过计算可知，在X和y方向该板都是以一个半波发生凸曲。6.2.2迦辽金法已知板的平衡偏微分方程为房）=0若符合板的几何和自然边界条件的挠曲面函数为(6.14)则可建立迦辽金方程组=乎A甲(x, y)i ii =1(6.15)小乙妇由(x, y hxdy = 0口 pLIp (x, y)lxdy = 00 02J小 lCoP (x, y )dxdy = 0(6.16)方程组6）积分后，可以得到对 A 2气的线性方程组，为保证气有非
5、零解，系 数行列式必为零，则得到板的屈曲方程，由此解出屈曲荷载。【例题6.2】用迦辽金方法求解图6.6所示单向均匀受压板的屈曲荷载。板的两加载边简支，两非加载边固定。解:板的平衡微分方程r（ ） J848484）82=laXT + 8x28y2 +祠）Px 右-假定挠曲面函数 = A sin m sin2Ca b可以验证此函数符合几何边界条件当 X = 0、a 时，3= 0伽 -也符合力学边界条件当 y = 0、b 时，3= 0 , = 0合23 d 23 八当 x = 0、a 时，Q= = 0则建立迦辽金方程积分后得到a（3）sinmx sin2兀 2 D ( m 2 b 2 816a 2 + _ +b 2 a 23 3m2b 2)由 m = 0得到m 2 =J= 代入式（4），得到Px的最小值Px ,cr兀2 D
