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1、巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌 握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统 地介绍巧解排列组合的21种模型.1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排 列.例1. A, B,C, D, E五人并排站成一排，如果A, B必须相邻且B在A的右边，那么不同的 排法种数有A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把A, B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4 = 24种， 4答案：D.2. 相离问题插空排：元素相离（即不
2、相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、 1440 种B、 3600 种C、 4820 种 D、 4800 种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A：种，不同的排 法种数是A;A2 = 3600种，选B .3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法.例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那 么不同的排法种数是A、24 种B、60 种C、90
3、种D、120 种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列 数的一半，即2 A55 = 60种，选B .4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种 B、9 种C、11 种 D、23 种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X 1=9
4、种填法，选B.5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5. (1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C2C1C1 = 2520种，选C .(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4人，则不同的分 配方案有.C4 C4C4 .A、C4 C4C4 种B、3C4 C4C
5、4种C、C4 C4 A3种 D、T2I 种12 8 412 8 412 8 3A33答案：A.6. 全员分配问题分组法：例6. (1) 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送 方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共 有C2A3 = 36种方法.43说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2) 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480 种 B、240 种 C、120 种D、96 种答案：B .7. 名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班
6、级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方 案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每 堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方 案，故共有不同的分配方案为C6 = 84种.8. 限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开 发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A4种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方 法，然后安排其余学生有A
7、3方法，所以共有3汽；若乙参加而甲不参加同理也有3次种； 若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种， 8 共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数为A4 + 3A3 + 3A83 + 7A; = 4088种.9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况 分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3, 4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于 十位数字的共有A、210 种 B、300 种C、464 种 D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有A5、AiA1A3、
8、54 3 3Ai Ai A3、3 3 3AiAiA3和AiA3个，合并总计300个，选B .（2）从1, 2, 3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两 个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100 个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A = 7,i4,2i, 98共有14个元素， 不能被7整除的数组成的集合记做.A = i,2,3,4, ,i0。共有86个元.素；由此可知，从A中 任取2个元素的取法有?，从A中任取一个，又从.A中任取一个共有CI4C16，两种情形共 符合要求的取法有C
9、2 + CI4CI6 = I295种.（3）从1, 2, 3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计 顺序）有多少种？解析：将I = i,2,3 ,i0。分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A = 4,8,i2, I0。；能被4除余1的数集B = i,5,9, 97）,能被4除余2的数集C = 2,6, ,98,能被4除余3的数集D = 3,7,11, 99)，易见这四个集合中每一个有25个 元素；从.4中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符 合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25 + C25C25 + C25种
10、.10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公 式 n( A u B) = n( A) + n(B) - n( Ap B).例10.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第 四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集二6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B= 乙跑第 四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I) - n(A) - n(B) + n(A c B) = A： - A; - A; + A; = 252 种.11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排
11、其它的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A1种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法;34所以共有Ai A4 = 72种.12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例12. (1) 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6 = 7206种，选C.(2) 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排
12、在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A;种，某1个元素排 在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A;种，故共有 A1A2 A5 = 5760 种排法.4 4 513. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合元素不能分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不同的取法共有A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视 机，故不同的取法共有C3 -C3 -C3
13、= 70种，选.C解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2 台乙型1台；故不同的取法有CC + C1C2 = 70台，选C .14 .选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置 上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种，“再排”在四个4盒中每次排3个有A3种，故共有C2A3 = 144种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种 不同的分组方法？解析：先取
14、男女运动员各2名，有C2C2种，这四名运动员混和双打练习有A;中排法， 故共有C2C2A2 = 120种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不 符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种B、64 种 C、58 种D、52 种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C4四面体，但6个表面和6个 8对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C4 -12 = 58个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、150 种B、147 种C、144 种 D、141
15、种解析：10个点中任取4个点共有C4种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四10个面上，每面内四点共面的情况为C 4，四个面共有4C 4个；过空间四边形各边中点的平行66四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C4 - 4C4 - 3 - 6 = 141 种.16. 圆排问题线排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按 顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是 相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：a ,a ,a ,a ;a ,a ,a , ,a , ;a ,a , ,a 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重12 3 n 234nn 1n-1n!合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的n -1 n元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可4插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24x25 = 768种不同站
