《第五章定解问题的适定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章定解问题的适定性（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章定解问题的适定性一、小结本章首先利用能量积分方法，证明了波动方程混合问题解的唯一性及解的平均稳定性。 在利用特征锥借助能量不等式，证明波动方程初值问题解的唯一性和平衡稳定性。利用极值原理证明热传导方程混合问题、初值问题，以及调和方程的第一边值问题解的 唯一性和稳定性、利用强极值原理证明调和方程第二边值问题的唯一性。通过对二阶方程的特征理论的考察，知道三类典型方程二阶导数前面的系数的代数性质 不同，决定了它们的特征状况不同，从而可以加深对三类典型方程许多本质差别的理解。最后举出了不适定定解问题的例子，并通过列表对三类典型方程及其定解问题进行了比 较与总结。重点：利用能量积分方法，证明了波动
2、方程混合问题解的唯一性及解的平均稳定性；证 明波动方程初值问题解的唯一性和平衡稳定性；利用极值原理证明热传导方程混合问题、初 值问题，以及调和方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性、利用强极值原理证明调和方程 第二边值问题的唯一性。二阶方程的特征理论；难点：强极值原理，二阶方程的特征理论。二、习题及解答5.1波动方程和能量积分2.设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程u = a 2uxx - cut证明其能量是减少的，并由此证明方程ut = a 2uxx - cut + f的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。证：1 首先证明能量是减少。能量E (t) = f (ut 2
3、 + a 2 ux 2)dx odE (t)f=J (2u u + 2a2u u )dxo=2f u u dx + 2a 2u u I - f u u dxo0 oli=2l u (u 一 a 2 u )dx + 2a 2 u u Io”“ 、因弦的两端固定，u I _0 。,u I _l 。,所以X 0X lut 1X0 0, ut 1Xl 0工曰dE (t) J .2 w于是2J u (u - a2u )dx0-2cf u2dx 0) 0因此，随着t的增加，E(t)是减少的。20证明混合问题解的唯一性混合问题:u a 2 u cu + ft0 - 0，得t0 0所以E (0) 0又E(t)
4、是减少的，故当t 0, E(t) 0, 所以E(t)三 0由此得u = 0,及u = 0,于是得到 txu三常量再由初始条件u It=0 0,得u三0,因此匕三u 2即混合问题解的唯一的。30证明解关于初始条件的稳定性，即对任何e. 0,可以找到门 0,只要初始条件之差11 甲 1 %2 11L 国一甲2口L 口甲 1 *2 11L n则始值(甲,W 1)所对应的解u及(甲2 W2)所对应的解u2之差U1 -u2满足II 1 - U2 IIL eTi或(1 一u2)2dxdt e 00令E(t) = ju 2(x, t )dx0血)- 2J u u dx J u2dx + J u2dx dtt
5、t000 E0(t) + E(t)即d (e -tE (t) e -tE(t)dt 0积分得E0(t) etE0(0) + et Je-，E(t)dT0又 E(t ) E(0)，所以E0(t) etE0(0) + etE0(0)JeW0即E0(t) etE0(t) + (et -1)E(0)记季=% 一甲2，审=W -W2，则u = u1 -u2满足utt = a 2 u x cut u 1 x=0 = 0, u 1 x=t = 0 u |t=0 =%, ut t=0 = W则相对应地有E0(0) = Jl 2 dxE(0) = J (顺2 + a 2甲 Qdxx 2=-lp2dxV ndxx
6、 2则于是e0(0)n2, e(0) 2 (对任何t)If u 2 dxdt v 0 0门2 /4。解关于自由的稳定性utt = a2 uxx - cut + u 1 x=0 =0, u 1 x=l = 0 u I八=Q,u I八=寸t=0t t=0*u 2 (x, t)满足 utt = a 2uxx - cut + u 1 x=0 =0, u 1 x=l = 0 u = Q, u I =Wt=0* t t=0 *则u = u1 -u2 满足u Iutt = a 2 uxx - cut +(f1 - f2 )x=0 = 0，u 1 x=l = 0u I = 0, u I = 0t=0t t=0
7、今建立有外力作用时的量不等式(心=fi - f)虱)=J2+。2 ux 2 )x虫)=2J Ltt +a 2uxuxt dxdtf ()=2J ut ut 一a2uxxdx0=2f( cu： + utfdx ( utt = a 2 uxx 一 cut + f) if utfdx jdx + f f 2dx E (t)+ F (t) 000其中 F(t)= f f 2dx,故E(t) E(0)et + ejetFG认0又E(0)=0由始值)所以E(t) ejey FG)dc =el f e YdJ f 2 dx000 ejf f 2dxdt = K2ef00由3中证明，知E0 (t) etE0(
8、0)+ eje-，EG认 0而E0(0)=0由始值)故E0(t)= etfetEG认 eK2dT = tetK2T E0 (t)dt = T K 2tetdt = K 2 l - 1)eT + J 00因此，当 K = ；ff f2dxdt n，则*00:ff u02dxdt (T - 1)eT +1 0 0亦即当0 0ff：（f1 一 f2 ）2 dxdt 门，则,ff （U1 一 u 2）2 dxdt 。即解关于自由项是稳定的。 0d 2 u dt23.证明如果函数f （x, t）在G： 0 x l，0 t 0 , q 0和f (x.t)都是一些充分光滑的函数)满足固定端点边界条件的混合问
9、题的解在G内的改变也是很微小的。u =(k (xux) x - qu+f证:只须证明，当f很小时，则问题u 1 x=0 =0，u 1 x=l= 0u |t=0=0, utt=0=0的解u也很小(按绝对值)。考虑能量E(t) = j(u 2 + k(x)u 2 + qu2)dx0dE (t)j=J (2ttt + 2k(x)uxuxt + 2quut )dxt0=2j u u dx + + j quu dxttt 5 x tv 7 x吃 ,00t tt 0由边界条件u 1 x=0 = 0，ut 1 x=l = 0，故 ut 1 x=0 = 0，ui 1 x=l = 0。dE (t)dt=2j u
10、(u- (k (x)u) + qu)dx =2j u - f (x, t)dx 0， q 0，故 j u 12 dx E (t)，即0dE(t) E(t) + jf 2dxdt0或d(e(t)e -1) e -t j f 2dx0记F (t) = jf 2 dx0得E(t) E(0)et + jet-T F(t )dT0由初始条件u It=0 = 0，ut It=0 = 0，又因u It=0 = 0，得 ux It=0 = 0，故 E (0) = 0，即 E (t) Jet-T F (t )dT若f很小，即If*，则f 2 n 2故F(t) Vj门2& =叩210E(t) V 门 21 jet
11、md =门 21(et -1) q 21(eT -1) = s 20即在0.T 中任一时刻t，当| f|很小时，E (t) 8 2，又E (t)中积分号下每一项皆为非负的， 故j k (x )u 2 dx 8 2 (对0, T 中任一时刻 t)今对 0 x 1，0 t T， x0估计 |u(x, t)|。因为|u (x, t) - u (0, t )|jJ dx V dx0j duJ dx V dx01 duj dx，应用布尼亚科夫斯基不等式， dx0可以得到其中即du r dx dxj；k ( x)* (x)dudxdx V j k (x)-1 dxj k (x)ux 2dx、12 0 且充分光滑) 0|u(x,t) 一u(0,t) V K 又由边界条件u (0.t) = 0，得|u(x, t )| V K 即当 0 x 1，0 t 一*)2)dE(Q, _ 2 JJ uu+ a 2(uu + u u)dsdt - a J u2 +a 2(u2 + u 2)ds其中t tt y x xt y ytt x ydtrt为。t的边界曲线。再利用奥氏公式，得dE(t _ 2Rft2fruu a2(u + u )dsdtdtt tt xx yy00+2J a2u u cos(n,x) + u u cos(n, y) 一au 2 + a2(u 2 +
