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1、路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库2 有限元法的基本原理2.1有限元简介有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域） 所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以 被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、 复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组 成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况） 进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未 知量去逼近无限未知量的真实系统。线弹性有限
2、元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形 假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克 定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所 以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降 低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却
3、很微小，此时应变与位移 呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普 遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们 的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较 大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应 力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹 性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶
4、部件形成过程为大应变问题。3）非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属 于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制 成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接 触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。2.2刚塑性有限元法及其变分原理介绍2.2.1刚塑性有限元法简介刚塑性有限元法是在1973年提出来的，这种方法虽然也基于小应变的位 移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料在塑性变形 时的体积不变条件。它可用来计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，
5、现已广泛应用于分 析各种金属塑性成形过程。刚塑性有限元法的理论基础是变分原理,它认为在所有动可容的速度场中, 使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可以计算出各点的 应变和应力。对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分（弹性 应变与塑性应变之比通常在1/1001/1000 ），因而可忽略弹性变形，将材料 模型简化为刚塑性模型。采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。 与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足够的工程精 度的前提下，可提高计算效率。由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通过在离散空 间对速度的积分而获得，从而避
6、开了应变与位移之间的几何非线性问题。由于 忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的分析，不能直接分析 弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸载和计算残余应力与变形。由于刚塑 性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静水压力与体积应变率无关, 如要计算应力张量，还必须进行应力计算的处理。从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的基本思 想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难（即求出原函数）时，先用适 当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数 作为解，求出单元内各点的解；然后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出 整个区域的场量。1. 刚
7、塑性有限元法的求解过程（1）离散化处理；（2）单元分析的基础上集合成总体方程组；（3）刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非线性方程组，还须线性化 处理并采用迭代方法求解。2. 刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下5种：（1）流函数法；（2）拉格朗日乘子法；（3）罚函数法;（4）泊松系数v接近0.5法；（5）材料可压缩性法。3. 刚塑性材料基本假设对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中的某些过 程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：（1）不计材料的弹性变形；（2）材料的变形流动服从Levy- Mises流动法则；（3）材料是均质各向同性体；（4）材料满足
8、体积不可压缩性；（5）不计体积力与惯性力；（6）加载条件（加载面）给出刚性区与塑性区的界限。2.2.2变分原理1. 第一变分原理刚塑性材料的第一变分原理又称为马尔柯夫（Markov）变分原理，其为：在 满足：（1）速度一应变关系(2.1)(2) 体积不可压缩条件 = = 0v kk(2.2)(3) 速度边界条件(在S 上)u(2.3)的一切动可容场u*ij,营ij中使泛函:j-Q JdV-J FudS + J 九 5 dV(2.4)3 S V j jSp i i V j j可以证明，在一切满足应变速率与速度关系和速度边界条件的u中，使泛i函式取驻值的u为真实解。i2. 完全广义变分原理选择速度
9、场，口和入，i在第一变分原理中，所选择的速度场必须满足(1)，(2)和(3)式，实际问题 中，有些条件比较容易满足，而有些条件则不易满足。为了容麦 应用条件变分的概念，引用拉格朗日(Lagrangian)乘子a =Jijji将运动许可解所必须满足的条件引入泛函中，则得到新的泛函：i2兀* = Q3 S V、 i i + J 九 5 dV-J*V SJ dV J F u dS J a勺 ij ijSp V p C u )dSi i i - (/+ uij 2 i，j j，idV(2.5)在任意选取的u、i爲中，真实解使泛函取驻值，这就是刚塑性完全广义变分原理。3.第一变分原理和完全广义变分原理对
10、比第一变分原理所选择的ui和ij只要求满足运动许可条件，而静力许可条件是通过变分近似满足的。据广义变分原理预选的口和不受任何约束，所有的 i ij方程均由变分近似满足。所以，由第一变分原理计算的近似解较广义变分原理 得到的解更精确。但前者在预选满足运动许可条件的速度场时比后者困难。4. 不完全的广义变分原理在选取运动许可解u和8-时，可将其应满足的三个条件中的任意两个或一i 1J个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日乘子引入泛函中，组 成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不完全广义变分原理。在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容易满 足，而体积不可压缩条
11、件(2)式难于满足。因此，可以把体积不可压缩条件用拉 格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：J2q J JTIT dV -J FudS + J 尢8 8 dVVO c * .3 S V j jSF I V j j(2.6)可以证明，在一切满足应变速率与速度关系和速度边界条件的ui中，使泛 函(2.6)式取驻值的ui为真实解。按照Markov变分原理求解时，面临速度场选取的困难。因而在实际求解时 常采用不完全广义变分原理求解塑性变形过程。对刚塑性体按Markov变分原理确定的泛函为：(2.7)兀二dv -J Fu dSVSF i i解决的问题是寻找某种方式将体积不可压缩条件式引入泛函(2.7)中
12、，构成 新的泛函，使问题转变成对新泛函的无条件的驻值问题。通常采用拉格朗日乘 子法、罚函数法及修正罚函数法来构造新的泛函。通过这样的方法将体积不可 压缩条件引入后，便能求静水压力。，从而解决了因忽略材料的弹性变形而m带来的应力计算的困难。2.2.3刚塑性材料流动的基本方程欲求解变形体在塑性变形时的场变量，首先要建立基本方程组。设变形体 的体积为V，在v内给定体力p ；表面积为S，在S的一部分力面S上给定面力 iq,在S的另一部分速度(位移)面S上给定速度vo，则材料在流动过程中满itvi足下列力学基本方程1.力平衡方程b + p = 0iji2.力边界条件即在S上t3. 几何方程4. 速度边界
13、条件即在S上v5体积不可压缩方程b n 二 qij j iW = 5= 0v ij ij6.屈服准则 假设材料符合密赛斯屈服准则，即：1 3S S = k2S S =b22 ij ij2 ij ij(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)式中k是变形过程的函数，如材料是理想刚塑性体时，k二const。 得到，符合密赛斯屈服准则的应力应变关系式：刚塑性有限元法借助于变分原理可求出近似解，对变形场的位能泛函进行 变分，当变分取得驻值时，变形场满足平衡微分方程和力学边界条件。处理体积不变条件的方法有两种：一是在假设初始速度场时，除了满足速 度边界条件以外，还应严格满足体积不变条件，
14、这种方法给假设初始速度场带 来困难。另一种方法是假设初始速度场只满足速度边界条件，而对体积不变引 入约束条件，即拉格朗日乘子进行有条件变分。这种方法在运算中较易实现， 目前已得到广泛应用。2.2.4虚功原理变形体的虚功原理可以叙述如下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协 调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚功原理是虚位移（功率）原理和虚应力（率）原理的总称，它们都是与 某些控制方程相等效的积分“弱”形式，虚位移（功率）原理是平衡方程和力 的边界条件的等效积分“弱”形式；虚应力原理则是几何方程和位移（速度） 边界条件的等效积分“弱”形式。下面来推导虚功率原
15、理。首先考虑平衡方程(2.15)(2.16)b + p = 0ij,ji以及力的边界条件b n 二 qij j i我们可以采用相应的方法建立与他们等效的积分形式，在这里权函数不失 一般地取速度的变分6v及其边界值（取负值）。这样就可得到上面两式的等ifs v （b + p ）dv f 5v （b n 一 q ）ds = 0v i ij，ji s i ij j i（2.17）对上式体积分中的第一项进行积分，并注意到应力张量是对称张量，以及 由于6v是速度的变分，因而有在速度边界上6v=o，再考虑体积内部满足几 ii何方程，则可以得到f Sv b dv = f农 b dv + f Sv b n dsv 鼻jv j jst j j效积分形式J 农 b dv + f8vvij ijv 广 i（2.18） 将上式代入（2.11）
