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1、1、已知tan x2，求 sin x, cosx 的值.解:因为tan xsin x2，又 sin2 a2cos acosxsin x2 cosx联立得 .221sin xcos xsin x2-55sin x2.55解这个方程组得cosx仝，cosx.5【典型例题】1,552、求 tan( 120 )cos(210 )sin( 480 )的值。tan( 690 )sin( 150 ) cos(330 )解：原式 tan( 120 180 )cos(18030 )sin( 360 120 )八工tan( 72030o)sin( 150 )cos(36030 )tan 60 ( cos30 )(
2、 sin120 )tan 30 ( sin 150 ) cos303、若 sinx cosx 2,，求 sin xcosx 的值. si nx cosx解：法因为sinx cosxsinx cosx2,所以 sinx cosx 2(sin x cosx)得到sinx3cosx，又sin2 a cos2 a 1，联立方程组，解得sin x10sin xii 5、10cosx10cosx所以sinxcosx310法二：因为sin x3.101010 ，7qcosx 2sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx)，所以(si nx cosx)2 4(si nx cosx
3、)2，所以 12 si n xcosx 4 8sin xcosx，所以有 sin x cosx10、22224、求证：tan xsin x tan x sin x。;右边二 tan2 x- sin * h二 tan x(tan2xco52 x) = tan cosx2) = tan* rsin x1 ；法二;rjjl=tan ： xxsin 2 x= tan2 xx(l-cos; = tan: x - tan2 xcosx3 = tan: x(l -cos x3) = tan2 xsin x2x n5、求函数y 2sin( )在区间0,2 上的值域。2 6解:因为0 x 2，所以016x2 6
4、得到yx2si n(二)11,1所以yx2si n(；n1,226226766、求下列函数的值域.2(1) y sin x cosx 2 ；由正弦函数的图象,(2) y2 sin xcosx(sin x cosx)2解：(1) y sin x cosx 22=1 cos x cosx 22(cos x cos x) 3令 t cosx，则 t 1,1, y(t2t) 3利用二次函数的图象得到y1禺4(t y134(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)=(si nx cosx)21 (si nx cosx)令t sinx cosx 、2sin(x 4则y t2 t 1,利用二
5、次函数的图象得到y ,112.47、若函数y=Asin( x+0 )(0, 00)的图象的一个最高点为(22)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6 , 0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为(2, 一 2)，得到A 2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是 1个周期，这样求得 T 4 , T=16，所以44又由2、.2sin(n 2)，得到可以取848、已知函数 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin 4x. n n.2sin(x ).84(I)求f(x)的最小正周期;n(n)若x 0求f(x)的最大值、最小值.数21 sin X y的值域.3 c
6、os x42222解: ( I)因为 f(x)=cos x 2sin xcosx sin4 x= (cos x sin x)(cos x+ sin x) sin2 x22(cos x sin x)sin 2x cos2x sin2x . 2 sin(丄 2x). 2 sin(2x -n)4所以最小正周期为(若x o, n,rnn，则(2x n 4，所以当x=0时，f (X)取最大值为2 sin(冷 1;当 x43 n一时，f ( x)取最小值为89、已知tan解：(1)空cossinsincos sin求(1)cos sin/ sin1 -cossin(2) sin22sin .cos 2co
7、s 的值.cos2 sinsin cos22 cos1 tan1 tan.2.sinsin cos-22sin cosc 22 cossin.2sin2 .22 12COS cos2sin .1cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化,就会使解题过程简化。10、求函数 y 1 sinx cosx (sin x cosx)的值域。解：设 t sin x cosx.2 si n(xn 4、2 2，则原函数可化为2y t t 1 (tI)23因为t2 2，所以24当 t E 时，ymax3当t1时，3ymin24所以，函数的值域为y4，&。11、已知函数f
8、(x)4sin2x2sin 2x2, xR ; (1) 求 f(x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合； 证明：函数f(x)的图像关于直线x n对称。8解：f(x) 4sin2x 2sin 2x 2 2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos2x 2、, 2 sin(2x n)4(1)所以f (x)的最小正周期T n因为x R ,所以，当2x n 2kn n，即x kn 时，f(x)最大值为2、. 2 ；428f(冗8x)f(x)成立，8因为f(冗x)2、. 2 si n2(冗x)n2. 2sin(冗2x)8842f(冗8x)2.2 sin2(冗8x)冗n22 s
9、in(冗22x)(2)证明：欲证明函数 f (x)的图像关于直线x 对称，只要证明对任意x R，有822cos2x ,2、2 cos2x ,n所以f( n x)8f( f x)成立，从而函数f (x)的图像关于直线xn-对称。812、已知函数 y= cos2x+ sinx cosx+1(x R),2 2(1) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2) 该函数的图像可由 y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解:(1)y=1cos2x+s inx2 21cosx+1=(2cos2x 1)+1 + 上3 (2sinx cosx) +144= 1cos2x+ 34sin 2
10、x+451= (cos2x sin +sin2x426cos )+64=1 sin( 2x+)+6所以 y 取最大值时，只需 2x+ =+2kn , (k Z),即 x= +k n , (k Z)。6 2 6所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +kn ,k Z6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i )把函数y=sinx的图像向左平移 一，得到函数y=sin(x+ )的图像；6 6一 1(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的一倍(纵坐标不变)，得到函数2y=s in( 2x+ )的图像；6(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的11倍(横坐标不变)，得到函数y= 22sin(2x+ 一)的图像；6515(iv )把得到的图像向上平移-个单位长度，得到函数y=sin(2x+ _)+三的图像。4264综上得到 y=丄cos2x+ 一3 sinxcosx+1 的图像。2 2
