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1、热点难点突破之一、集合的创新考查面面观以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力1创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题典例1若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A1B3 C7 D31解析具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个
2、：1，.答案B题后悟道该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决2创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的典例2设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ()Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|2x3解析由log2x1，得0x2，所以Px|0x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|0x1答案B题后悟道解决创新集合新运算问题常分为三
3、步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点3创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题典例3对于复数a，b，c，d，若集合Sa，b，c，d具有性质“对任意x，yS，必有xyS”，则当时，bcd等于()A1 B1 C0 Di解析Sa，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当a1时，b1，c21，ci，由“对任意x，yS，必有xyS”知iS，ci，di
4、或ci，di，bcd(1)01.答案B题后悟道此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素热点难点突破系列之二、多法并举 求函数值域不犯难函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的作用求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等1数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为
5、我们熟悉的模型是解答此类问题的关键典例1对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的值域是_解析f(x)由图象知函数的值域为.答案题后悟道利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(2)两点间的距离： 可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离针对训练1函数y的值域为_解析：函数yf(x)的几何意义为：平面内一点P(x,0)到两点A(3,4)和B(5,2)距离之和由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)连接AB交x轴于一点P即
6、为所求的点，最小值y|AB|10.即函数的值域为10，)答案：10，)2判别式法对于形如y(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程，由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域典例2函数y的值域为_解析法一：(配方法)y1，又x2x12，0，y1.函数的值域为.法二：(判别式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xR，(1y)24y(y1)0，y1.函数的值域为.答案题后悟道本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，若xR，则0，从而确定函数的最
7、值；再检验a(y)0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)0时y的值的取舍针对训练2已知函数y的最大值为7，最小值为1，则mn的值为()A1B4 C6 D7解析：选C函数式可变形为(ym)x24x(yn)0，xR，由已知得ym0，所以(4)24(ym)(yn)0，即y2(mn)y(mn12)0，由题意，知不等式的解集为1,7，则1、7是方程y2(mn)y(mn12)0的两根，代入得，解得或所以mn6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)热点难点突破系列之
8、三、攻克抽象函数的五类问题抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律1抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解典例1已知函数yf(x)的定义域是0,8，则函数g(x)的定义域为_解析要使函数有意义，需使即则1x3，所以函数的定义域为1,3)答案1,3)题后悟道函数yf(g(x)的定义域的求法， 常常通过换元设tg(x)，根据函数yf(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而
9、解出x的范围在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义2抽象函数的函数值典例2(文)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则f(2)()A2B3 C6 D9解析令xy0，得f(0)0，令xy1，得f(2)2f(1)26，由0f(22)f(2)f(2)8得f(2)2.答案A典例2(理)已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1x0x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立求：(1)f(1)f(0)；(2)x0的值解(1)因为对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1x0x2
10、)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立，令x11，x20，得f(x0)f(x0)f(0)f(1)，所以f(0)f(1)0.(2)令x10，x20，得f(0)f(x0)2f(0)，即f(x0)f(0)故f(x0)f(1)又因为f(x)是单调函数，所以x01.题后悟道抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答3抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断典例3已知函数f(x)对任意x，yR，都
11、有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数证明取x0，y0，得2f(0)2f2(0)，因为f(0)0，所以f(0)1；再取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)所以f(y)f(y)，所以函数f(x)是偶函数题后悟道在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解4抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题(结合本
12、节例2(2)学习)5抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出典例4已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 014)_.解析取xn，y1，有f(n)f(n1)f(n1)，同理f(n1)f(n2)f(n)，联立，得f(n2)f(n1)，所以f(n3)f(n)，f(n6)f(n3)f(n)，所以函数的周期为T6，故f(2 014)f(4)f(1).答案题后悟道判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变
13、量必须具有任意性从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解热点难点突破系列之四、“图”解函数的零点问题函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围解决这些问题主要用数形结合法1函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f(x)0根的个数，可转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数(如例2(1)2利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象典例1如图所示为f(x)x3bx2cxd的图象，则xx的值是()A. B. C. D.解析由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点1,0,2.由f(0)0，得d0，故函数解析式可化为f(x)x3bx
