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1、考研数学”做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编： 杨降龙 杨 帆刘建新翁连贵 吴业军近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由 于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越 多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学 历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的 原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届 的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题， 其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试 大纲除了在
2、 1996 年实施了一次重大的修补以外，从 1997 年起一直沿用至今， 但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学 考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试 要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试 相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值 设定在 80（按总分 150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了 需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括 各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。 为了我院学生的考研需要，我们编写了
3、这本辅导讲义。该讲义共分三个部分， 编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基 本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。第一章 函数 极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数 隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极 限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则 两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题
4、中的函数关系。2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最值存在、介值定理)
5、，并会利用这些性质。1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算(重要考点)：四则运算、复合运算(复合函数)、逆运算(反函数)；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题1、(88)已知 f (x) = ex2, f cp (x) = 1 -x，且申(x) 0，求申(x)及定义域。2、(92)已知 f (x) = sin x, f p (x) = 1 - x2，求p(x)定义域。3、设 f (丄)=x(1+Jx2 +1), x 0，求 f (x) o x4、f (sin x+)=sin2 x + 3，求 f (x)。 sin2 x12 x,5、(97)
6、g(x)讣 + x,x 0f (x) = f 2,I x,x 06、11 + x, 设f(x)=l求 ff (x)。r1,7、(90) f (x)= 0x 1 求ff(x)。I x 2 + 28、求 y = x 2-1 x 0的反函数。0 x1I1- 2x2,x -19、(96)设函数 f (x) = x3,-1 x 2(1)写出f (x)的反函数g(x)的表达式；(2) g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。1 c10、设f (x)满足：af (x) + bf (_) = _, a,b,c为常数，且|a|丰|b|，试证:f (x)为奇函数。x x11、Vx e R, f (x)满
7、足：2f (x) + f (1 - x) = x2,求 f (x)。12、sin x设 f (x)连续，且 f (x)=二一+ 2lim f (x)，求 f (x),lim f (x) ox 兀x T兀xT兀13、(89)设f (x)连续,且 f (x) = x + 2f1 f (x)dx，求 f (x) o014 、97)设 f(x) =求 f1 f(x)dx02 极限、定义及性质 (1)唯一性；(2)局部有界性；(3)局部保号性:(i)若f (x) 0,(或f (x) 0 (或 A 0 xTx0(或 A 0 (或 f (x) 0).2x 的广泛的代表性sin u, tan u, ln(1
8、+ u), e -1, arcsin u, arctan u u5、1 cos u 一u 2 , (1 + u) a 1 a u 等2(2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。用罗必达法贝设(1) lim f (x) = 0(g) , lim F (x) = 0(g), ( x T x 或 x T g ) 0(2)在r的某个去心邻域内(当x充分大时)f(x),F(x)可导，且F (x)丰0可以通过初等变形转化为0和-。对于18 , 80, 00,08limf (a +nT8i =1-)-=n f (an n 0+ x)dx = ja+1 f (x)dxa(3)iimf-(x) = AS) )F-(x
9、)i 丿lim 空=lim ZM = A) F (x)F-(x)08c基本类型有和一。对于0心，8 8 08通过取对数再用罗必达法则。6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算x T x的极限时，如果被求极限中含有x x的 00 因式时，可以令x x = t ;在计算x T 8的极限中，如果被求极限中含有丄，则可令1 = t。在研究 0x x生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则i) 夹逼(两边夹)定理；ii) 单调有界定理：单调递增(减)有上界(下界)的数列必有极限。8、利用导数定义(ch.2)9、用定积分定义(ch.3)当已知函数f (x)可积时，有n T8n
10、n 0i=1n T8n n 0i=1lim 工 f ()丄f (x)dx， lim 工 f (乜)丄1 f (ax)dx 丄 af (x)dx a0lim 工 f (a + (b)= jbf (x)dxn T8nn ai =110、用微分和积分中值定理(ch.2)11、用 Taylor 公式(ch.2)注意：下面几类极限一般要讨论左右极限： 分段函数在分段点的极限；x T x 时，与绝对值或开偶次方根有关的极限 01x T x时，含有形如ax-x0因式的极限。0三、无穷小阶的比较设a,卩均为无穷小，且不为0如果：(1) lima/卩=0时，则称a是卩的高阶无穷小，或称卩是a的低阶无穷小，记a = 0(卩)。(2) lima/卩=c丰0时，则称a与卩为同阶无穷小，特别当c二1时，称a与卩是等价无穷小。(3) lima / Pk二c丰0时，则称a是0的k阶无穷小。注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数f (x)与另一已知函数g(x)是同阶无穷小，求f (x)中所含的参数；当函数f (x)满足什么条件时，是xn的同阶(高阶)无穷小;将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。 例题一)极限的计算1、00)设对任意的 x，总有申(x) f (x) /1
