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1、第1页华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一(12分)设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。二(12分)设证明：若f(x),D(x)f(x)在点x=0处都可导，且f(0)=0,则f(0)=0三(16分)考察函数f(x)=xlnx的凸性，并由此证明不等式：四(16分)设级数aanJn收敛，试就ddn为正项级数和一般项级数两种n1n81情况分别证明annn也收敛n1五(20分)设方程F(x,y)=0满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。又设F(x,y)具有连续的二阶偏导数。(D求f(x)(2) 若F(x,y)=0,y0=
2、f(x)为f(x)的一个极值，试证明：当Fy(%,y。)与Fxx(%,y。)同号时，f(比)为极大值；当Fy(比,y)与Fxx(%,yO)异号时，f(小)为极小值。,、一一22(3) 对万程x+xy+y=27，在隐函数形式下(不解出y)求y=f(x)的极值，并用(2)的结论判别极大或极小。六(12分)改变累次积分的积分次序，并求其值。七(12分)计算曲面积分I=1n(x2cosa+y2cosP+z2cos)dss其中s为锥面z=Jx2+y2上介于0WzWh的一块，coas,Cos为,scro侧st向的方向余弦。华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.简答题(20分)(D用定义验证:
3、limnj：3n2222n n 13(2)计算/_dx.、E2二(12分)设f(x)有连续的二阶导函数，且31f(冗)=2,f(x)+f(x)sinxdx=5,求f(0).0三(20分).一1(1)已知工an为发散的一般项级数，试证明Z(1+)an也是发散级数。n1n=1n1(2)证明22sinr在(0,十电)上处处收敛，而不一致收敛。n=13x222.2ccc.四(12分)设D：x+y+zwt,F6=川f(x2+y2+z2)dxdydz,其D中f为连续函数，f(1)=1.证明F(1)=4工22五(12分)设D为由两抛物线y=x-1与丫=-x+1所围成的闭域。22试在D内求一椭圆，J+4=1,
4、使其面积为最大。ab六(12分)设u(x,y)有连续二阶偏导数，F(u,t)有连续一阶偏导数，且、2、2满足F(Ux,Uy)=0,(Fs)(Ft)o0,证明：七(12分)设f(x)为(-8，+g)的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若f(x)在(一空，十笛)上连续，则f(x)三常数。华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题、一一，-x一 .设a0,0Mxma,xn书=xn(2),n=N,a证明：x。收敛，并求其极限。二 .证明：若函数f在区间I上处处连续，且为一一映射，则f在I上为严格单调.三 .用条件极值的方法证明不等式：四 .设f(x)在(a,g)上可导，且Jim，f(x)=
5、+电，证明f(x)在(a,00)上不一致连续。五 .设f(x)在【a,b上二阶可导，且f(x)0,f(x)时，fn(xRf(x)w,xa,b证明：(1)f(x)在la,b上有界；八.设S仁R2,Po(x。，y。)为S的内点，Pi(xyj为S的外点，证明：直线段P0P1至少与S的边界dS有一个交点华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.(24分)计算题：(Dlim(x.01_ 1ln(1 x) x.3(2)cosxsinx2dx;1 cosx(3)设z=z(x,y)是由方程2 22、F(xyz,x+y+z)=0,所确定的可微Bt函数，试求grad乙1-n二.(14分)证明：(1)41
6、+1卜为递推数列；n1 .1、1(2)ln(1+),n=1,2，.n1nn.(12分)设f在a,b中任意两点之间都具有介值性，而且f在(a,b)内可导，|f(x)怪K(正常数)，x亡(a,b).证明f在点a右连续(同理在点b左连续).1cn四.(14分)设In=Jo(1-x)dx.证明：(1) In2n2n 1In，n=2,3 ;,一2(2) In-7=，n=1,2,3.3乂n五(12分)设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线H(x),xwa,b(f(x)之0)饶x轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为222.、(提示：据空间解几知道s的方程为y+z=f(x)六(24分)级数
7、问题：sinxJ，x=0(k),(1) 设f(x)=：(3) 设fn(x)为a,b上的连续函数序列，且证明：若f(x)在a,b上无零点。则当n充分大时fn(x)在Ia,b上也无零点，并有华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.(30分)简单计算题.xt221)验证：当xt十g时，2x1。edt与ex为等价无穷大量.2)求不定积分产：x)dx。x23)求曲线积分：I=(ycosy)dx+xsinydy,OA其中有向曲线OA如图所示.4)设f为可微函数，u=f(x2+y2+z2)和方程3x2y2z3=6xyz(*)Fu试对以下两种情形，分别求在点Po(1,1,1)处的值：?x(D由方程
8、(*)确定了隐函数：z=z(x,y);(2)由方程(*)确定了隐函数：y=y(x,z).222,xyz,二.(12分)求由椭球面f+上了+f=1与锥面abc222xyz+-2=0z以所围0体的体积。abc三.(12分)证明：若函数f(x)在有限区间(a,b)内可导，但无界，则其导函数f(x)在(a,b)内亦必有界.n四.(12分)证明：若an绝对收敛，则an(a1十a2十十an)亦必绝n1n-1对收敛.五(17分)设f(x)在0,1上连续，f(1)=0.证明：1) xn在此1】上不一致收敛；2) f(x)xn在b,1上一致收敛。六(17分)设函数f(x)在闭区间a,b上无界，证明：1)gx#u
9、b,b】，使；l/m.f(xn)=00;2)设wla,b，使得：v000,f(x)在(c6,c+6)ca,b上无界。(若能用两种不同方法证得2),奖励5分)华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题(12分)计算:2nsin(n2)2n2n-1002. lim(x.0sin xo一，23、3.设F为R3上的可微函数，由方程F(xy,yz,zx)=0确定了z为x与y的函数，求zx,zy在点(1,1)的值.二.(15分)设函数f,g均在(a,b)内有连续导数，且对于任何xw(a,b),有F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)0,求证：1. f,g不可能有相同的零点;2. f的相邻点之间
10、必有g的零点；3. 在f(x)的每个极值点x0w(a,b)，存在x0的某邻域，使得g(x)在该邻域中是严格单调的.2a3.一.三.(15分)设初始值a1二R给定，用递推公式an书=nr(n=1,2.)1an得到数列an。1 .求证数列an收敛；2 .求an所有可能的极限值；3 .试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，an都收敛于相同的极限值.222四 .(12分)设ac0,求椭球体-M+备=1的表面积.ac五 .(18分)设数列an有界但不收敛，求证：8nx1 .对于任何x0,乙ane收敛；n=1qQ2 .对于任何60,I-anef在,十)上一致收敛；n=10a、：-n
11、x3 .乙ane在(0,十8)上不一致收敛.n1六.(12分)设函数f(x)在0,1上连续，求证：七.(16分)设函数f在10,a】上严格递增，且有连续导数，f(0)=0.设g是f的反函数，求证：f(x)x1. 对于任何xw0,a,都有0(x-g(u)du=0f(t)dt2. 当0wxwa,0wywf(a)时，下列不等式成立yxxymJ0g(u)du+10f(t)dt,其中当且仅当y=f(x)时，等式成立.华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题(30分)简答题(只需写出正确答案)1. lim2sin(1-x)(x-1)2(x2)2. y = arc11 x223. lnxdx=x.(
12、x)4. z=ysin|一|,则dz=IyJ225. D=(x,y)|x+yw1,则ffDexydxdy=226. L=(x,y)|x+y=1万向为顺时针万向，则xd-y=ydxL二.(20分)判别题(正确的说明理由，错误的举出反例)1 .若limxn=0则limn/x7=0.n)二二n)：:-2 .若f(x)在(0,必)上可导，且导函数f(x)有界，则f(x)在(0,七)上一致连续。3 .若f(x)在1a,b1上可积，xF(x)=1f(t)dt在Xo=(a,b)上可导，则F(x0)=f(x0).aoOoQ4 .若Z(a2n+a2n)收敛，且liman=。则Zan收敛。n1nn=1xSints
13、int_sinx三.(17分)求极限lim-，记此极限为f(x)Jx、sinxJf(x)的间断点，并判别间断点类型.(17分)设f (x)在10, a 上连续，且 f ( 0f x dx 三Ma 2,其中M=max |0 x ：af (x) |0(17分)若函数f (x, y)在R2上对x连续，且存在Vx,y,y wR, |f(x,y)-f (x, y|.求证：f (x, y)在r2上连续.六.(17分)求下列积分：I =Sf (x, y, z)dS ,( a 0)22其中 S = ( x, y, z) | x y22iz = a ,七(17分)设 0 ： r 二 1, x R(1)求证:1 - r2,2 1 11 - 2 rcsx r2 rn cos nx ；n 1(2)求证:2、.一0 ln(1 - 2 r cos x r )dx = 0八(15分)1a 0, b 0. a1 = a, a2 = b. a n 2 - 22a n 11,n an1,2,.
