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1、第3课导数的应用(2)【考点导读】1. 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2. 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。f (x)不恒为零，则关于 f(X)下列说法正确的是(4)。(2)必定是一|,|内的奇函数(4)可能是奇函数，也可能是偶函数【基础练习】1若f(x)是在一|,|内的可导的偶函数，且(1) 必定是1,1内的偶函数(3)必定是 -1,1内的非奇非偶函数2. f (X)是f(x)的导函数，f (X)的图象如右图所示，则 f (X)的图象只可能是(4)。y3若t
2、R，曲线y =x3与直线y=3x-t在x 0,1上的不同交点的个数有至多1个。4. 把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为15cm，宽为 15cm。5. 在边长为60cm的正方形的四角切去边长相等的小正方形，在把它的边沿虚线折起，作成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为 40cm时，箱子容积最大，最大值为16000cm3。【范例导析】例1 .函数f (xx3 ax2 bx c，过曲线y = f (x)上的点P(1, f(1)的切线方程为 y =3x 1(1) 若y=f(x)在x -2时有极值，求f (x)的表达式；(2) 在(1)的条件下，求 y=f(x)在-3,1上最大值；(
3、3) 若函数y =f(x)在区间-2, 1上单调递增，求b的取值范围解: (1)由 f (x) =x3 - ax2 bxC求导数得 :f (x) =3x2 2ax b过y = f (x)上点P(1, f (1)的切线方程为:y - f (1) = f (1)(x -1)即 y (a b c T) = (3 2a b)(x -1)而过y二f (x)上P(1, f (1)的切线方程为：y = 3x 1M；3+2a+b=3日仃；2a+b=0(1)故即吕+b+c2=1q+b + c = 3(2)；y = f(x)在 x - -2时有极值,故(一2)=0.-4a b 二-12(3)由(1)(2)(3)相
4、联立解得 a =2,b 二 _4,c=532f (x)二 x 2x -4x 5(2) f (x) = 3x2 2ax b = 3x2 4x 一 4 = (3x 2)(x 2)x/,/)-223f (x)+00+f(x)极大极小f(x)极大二 f(-2) =(-2)3 2(-2)2 -4(-2) 5 = 13f(l) =132 1-4 15=4. f (x)在-3,1上最大值为 13(3) y = f(x)在区间-2,1上单调递增又 f (x) = 3x2 2ax b,由(1)知2a b = 0. f (x) = 3x2 - bx b依题意f (x)在-2,1上恒有f (x) _ 0,即3x2
5、-bx b _0在-2,1上恒成立. 在 x = b _ 1时，f (x)小二 f(1)=3b b 0. b_66 在 x= b _-2时，f (x)小二 f (-2) = 12 2b b _ 0. bL 在b 0。点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例2 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设OO1的长度会比较简便。解：设OO1二x(m)，则由题设可得
6、正六棱锥底面边长为 3 (x仔=.8 2X-X?(单位：m)。于是底面正六边形的面积为(单位：m)32 -(x-1)2 =6 3L(8 2x -x2)2 二3 3(8 2x-x2)。42帐篷的体积为(单位：m5):3(16 12x -x )3 运2 _11V(x) -(8 2x-x) 3(x-1) 1 二求导数，得 V (x)3(12 -3x2)；2令V(X)=0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当 1x2 时，V(x) .O,V(x)为增函数；当 2x4 时，V (X)： 0 ,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO为2m时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何
7、体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最 大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。例3 设函数f (x) - -x3 3x 2分别在儿、x2处取得极小值、极大值。在xoy平面上点A B的坐标分别为(为十佻)、(X2,f(X2)，该平面上动点 P满足PA?PB=4，点Q是点P关于直线y=2(x_4)的对称点。求：(I)求点A B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.解: ( I )令 f (x) = (_x3 3x 2-3x2 3 = 0解得 x = 1 或x = -1 ；当 x -1 时，f (x) :： 0 ,当 一1 :： x : 1 时，f
8、(x) . 0，当 x 1 时，f (x) :： 0。所以，函数在X二-1处取得极小值，在X =1取得极大值,故刘-1,x2 =1,又 f( -1) =0, f (1) = 4。所以，点A B的坐标为A( -1,0), B(1,4)。(n)设 p(m, n), Q(x, y),2 2PA *PB - -1 - m,-n 1 - m,4 -n = m -1 n -4n=4 ,又kPQ1一 2，所以y _ nx m又PQ的中点在y=2(x-4)上，所以=2NJ, 2 丿消去 m,n 得(x 8 f +(y+2 f =9。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。证明：(I)因为 f(x)=3x2，2
9、x,2所以曲线y = f(X)在(Xn*,f(Xn)处的切线斜率kn卑=3X叶+2冷朴 因为过(0,0)和(xn,f (xn)两点的直线斜率是X； Xn,所以X；X 3xn12xn d.(II )因为函数h(x) = x2 x在x 0时单调递增，而 XnXn 3xn1 2xn1- 4Xn1 2Xn1 二(2 Xn 1)2 Xn 1，所以人乞2小，即独一1,因此人二出经_(丄)心Xn2XnXn工花 2又因为 X2 Xn 2(X2 Xn1),令n = X： Xn,则 * 1 J.+Yn2因为 Y1X1 =2,所以 Yn 乞(g)nY1 =(2)2因此 Xn _ X； Xn _ ( )2,故(二一焉
10、 一( .2 2 2点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。备用题2 已知函数f(x) =x3 -x (1)求曲线Y二f(x)在点M (t, f(t)处的切线方程；(2)设a .0,如果过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明： -a ： b ： f (a) 解: (1)函数 f (x)的导数；f(x)=3x2-1.曲线 y = f (x)在点 M (t, f(t)处的切线方程为：y 一 f (t) = f(t)(x-t)，即 y = (3t2 -1)x-2t3.(2)如果有一条切线过点(a, b)，则存在t，使b =(3t
11、2 -1)a -2t3 .若过点(a, b)可作曲线y二f (x)的三条切线，则方程2t3 -3at2 a b=0有三个相异的实数根.记 g(t) =2t3 3at2 a b，贝y g (t)二 6t2 6at =6t(t - a).当t变化时，g (t), g (t)变化情况如下表：t(皿,0)0(0, a)a(a,，=)g+00+g(t)极大值a + b极小值b- f(a)由g(t)的单调性，当极大值 a b g (x)，那么下列情形不可能.出现的是(3).(1)0是f (x)的极大值，也是 g(x)的极大值(2)0是f (x)的极小值，也是 g(x)的极小值(3) 0是f (x)的极大值
12、，但不是 g(x)的极值(4) 0是f(x)的极小值，但不是 g(x)的极值6函数f(xx(x 0)的单调递增区间是7.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当它的面积最大时，底边上高为&设f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当x：0时，f(x)g(x) f(x)gx). 0,且 g(_3)=0,则不等式 f (x)g(x) ： 0 的解集为(-：，七)U(0,3)。9已知函数f (x) =x3十bx?+cx+d的图象过点 P(0，2)，且在点 M( 1, f (- 1)处的切线方程为6x y 7 =0 (I)求函数y=f(x)的解析式；(n)求函数 y=f(x)的单调区间.解：(I)由f(x)的图象经过 P
