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1、锐角三角比讲义【知识点总结与归纳】锐角的三角比的概念已知锐角.求三边角关系(三边(1)定义：在直角三角形ABC中，A为一锐角，则日矢口 一边 禾口 一车兑/A的正切=/A的余切=/A的对边/A的邻边/A的邻边/A的对边,即 tanA= a b,即 cotA = a b已知锐角的一个三角比，求直角三角形中的1、锐角的三角比/A的正弦=即sinA=?/A的余弦=,即cosA=g，注：三角函数值是一个比值.定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造 一个直角。若 A为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是:0 sinA1,0cosA0,cotA0 。同一
2、个锐角的正切和余切值互为倒数，即:I、1cotA=1 或 tanA=cot A2、特殊锐角的三角比的值(1)特殊锐角(30 ,45 ,60 )的三角比的值心、角函数角度仅供学习与交流一如有侵权请联系新站1正弦,除 irn2余弦,正切余切0,010不存在, 30”1 T遮 2T(2)同角，互余的两角多的三角比之间的关系：1倒数关系：tanA=cot A平方关系：sin2A+cos 2A=1sin AcosA积冏关系：tanA= ,cot A cosAsin A余角和余函数的关系：如果 A B 900,那么sinA=cosB, tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系)。注意：
3、求锐角三角比的值问题(1)在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边” “邻边”，掌握三角比的定义。(2)给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。(3)当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。(1)3、解直角三角形在直角三角形中，除直角外，还有 5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素(其中至少含有一条边)，求出其他
4、所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。解直角三角形常用到的关系:锐角关系：A B三边关系：勾股定理:(3)(4)asinA= ，cosA边角关系：csinB=- ,cos Bcb X A,tan A ca _,tan B ca .”,cot A bb ,cot B a 11直角三角形的面积：S -ch -ab22-absinC 2当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。解直角三角形的类型有:已知两条边；已知一条边和一个锐角。(5)解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形;已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;已知两边解直角三角形.注意：解直角三角形的方
5、法：可概括为“有弦(斜边)则弦(正弦，余弦)，无 弦用切，宁乘勿除，取原避中。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时， 就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用 除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数 据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。4、解直角三角形的应用(1)仰角和俯角 视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做 仰角，在水平线下方的叫做俯角。(2)坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用i标志，即i=h:l,通 常坡度要写成1:m的形式，坡
6、角的正切是坡面的坡度。(3)方向角 一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转 到目标的方向线所成的锐角。铝垂例1已知RtAABC中，/ C = 90 ,AC = 2, BC=3,那么下列各式中，正确的八 .-2A、 sin B 一32cot B 一3B、 cosB2C、tan B 3D、图 8-3-1例2某山路坡面坡度i 1: 7399 ,某人沿此山路向上前进200米，那么他在 原来基础上升高了 米.例 3 如图 8-1 ,在 4ABC 中，/ C = 90,点 D 在 BC 上，BD = 4 , AD = BC , cos/ADC= .5求：（1） DC的长；（2） sinB的值.
7、例4如图所示，秋千链子的长度为3日静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5m.秋 千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子 与铅垂线的夹角）约为53 ,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin 53%0.8, cos53 =0.6）课后作业 一、填空题1 .如图，如果4APB绕点B按逆时针方向旋转30后得到4A，P，B,且 BP=2,那么PP/的长为:（不取近似值.以下数据供解题使用：sin15=吏2, cosi5 = AJ2） 442 .用计算器计算： 由的40。=.（精确到0.01）3 .如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏 东48 .甲
8、、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公 路的走向是南偏西 度.第1题图第3题图第4题图4 .如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4M2单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为一（结果保留根号）.5 . 求值：sin260+coJ60=.6 .在直角三角形 ABC中，/A=90, BC=13, AB=12,那么 tanB 7 .根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为 m （结果精确的到0.01m）.（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin430用.6802,sin40 咆6428, cos43 咆7341, cos40 咆7660, t
9、an43 用.9325, tan40第5题图DC口口口= 0.8391)BAC第6题图8 .如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为a,高度BC为米（结果用含a的三角比表示） 二、选择题9 .在 ABC 中，/C = 90, AC = BC = 1,则 tanA 的值是（）c. 1D. 2210 .在RtAABC中，CD是斜边AB上的图线，已知/ ACD的正弦值是一，则3能的值是（）B.ABA.11 .如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A ,使梯子的底端A到墙根。的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B ,
10、那么BB ()A .等于1米B.大于1米C .小于1米D.不能确定12 .如图，延长 RtAABC斜边AB到D点，使BD = AB,连结 CD,若 cot/BCD = 3,则 tanA=()A. 3B. 1 C. -D.-233三、解答题13 .已知等腰梯形 ABCD 中，AD + BC = 18cm, sin/ABC=2 3 , AC与BD相交于点O, / BOC = 1200,试求AB的长.第13题514 .如图，河对岸有一铁塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30。，向塔前进16米到达D,在D处测得A的仰角为45 ,求铁塔AB的高.15 .如图，我市某广场一灯柱 AB被一钢缆CD葡岸,CD与
11、地面资环0， D，二二二二二二二二k且DB=5m ,则BC的长度是多少？现再在 C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少？(结果保留三个有效数字)【参考数据:sin 400.6428, cos40 0.7660,tg400.8391,ctg401.1918】近年上海中考数学关于锐角三角比题型年份考点分值2008 年锐角三角比的概念、坡度14 (8)2009 年锐角三角比的概念10 (5)2010锐角二角比的概念、解直角二24年角形(16)2008 (4 分),318.在4ABC中，AB AC 5, cosB -（如图6）.如果圆。的半径为 5布,且经过点B, C ,那么线段A
12、O的长等图62008 （10 分）21.（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形 和数据看不清楚（如图7所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形， A是OD与圆ODE=4DC IDE （1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值.2009 （10分）21.（本题满分10分，每小题满分各5分）如图 4,在梯形 ABCD 中，AD / BC, A
13、B DC 8, B 60, BC 12,联结(1)求 tan ACB 的值;(2)若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN ,求线段MN的长.2010 （10 分）21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆加出发，先沿北偏西67.4方向彳T走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点 C处，点B、C都在圆O上.(1)求弦BC的长；(2)求圆O的半径长.(本题参考数据:0 120_5sin 67.4 =布，cos 67.4 =行，2010 （14 分）25.如图9,在RtAABC中，/ ACB=90.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与
14、边AC相交于点E,连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.(1)当/B = 30时，连结AP,若 AEP与4BDP相似，求CE的长；(2)若 CE=2, BD=BC,求/ BPD 的正切值；1(3)若tan BPD ,设CE=x, AABC的周长为y,求y关于x的函数关系 3图10（备用）图11（备9.课后考点巩固考点一、锐角三角比的概念:1.在 RtzXABC 中，ZC=90,那么.等于BC(A)tanA;(B)cotA ;(C)sinA ;(D)cosA .2. RtzXABC 中，/C=90,若 AC= a,/A =，则AB的长为(A) a sin .(B) a cos .(C) sin ；a(D) cos3.如图,在 zABC 中，AB=2,AC=3,BC=4,则 tanC 的值是
