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1、第51讲抛物线(时间：45分钟分值：100分)来源:1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2，0) B(2，0)C(4，0) D(4，0)2以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x20相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A(0，2) B(2，0)C(4，0) D(0，4)3在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x42013西安质检 过抛物线y22px(p0)的焦点F且垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为()A1 B2C4 D852013石
2、家庄质检 已知抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|10，P为抛物线的准线上一点，则ABP的面积为()A20 B25C30 D5062013黄冈模拟 过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在72013厦门质检 抛物线y2mx的焦点为F，点P(2，2)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A1 B.C2 D.82013四川卷 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛
3、物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D29已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx210设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_图K511112013陕西卷 图K511是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽_ m.12过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，
4、12，则p的值为_132013重庆卷 过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_14(10分)2013广州调研 设双曲线C1的渐近线为yx，焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于2，并且曲线C3：x22py(p0是常数)的焦点F在曲线C2上(1)求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程；(2)过点F的直线l交曲线C3于点A，B(A在y轴左侧)，若，求直线l的倾斜角来源:15(13分)2013泉州质检 已知点F(1，0)，直线l：x1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出
5、其方程；(2)是否存在过N(4，2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？来源:16(12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0)的焦点F，对称轴为x轴，过抛物线y22px(p0)的焦点F且垂直于对称轴的直线为x，交抛物线于A，B两点，线段AB的长为8，故2p8p4.【能力提升】5B解析 抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，则|AB|2p，|AB|10，所以抛物线方程为y210x，P为抛
6、物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p5，则ABP的面积为10525.6D解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)因为A，B两点到直线x2的距离之和等于5，所以x12x225，所以x1x21.由抛物线的定义得|AB|x11x213.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦ABx轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线7D解析 由点P(2，2)在此抛物线y2mx上，得m4，抛物线的准线方程为x1，焦点为F(1，0)又M为线段PF的中点，M的坐标为，M到抛物线的准线x1的距离为.8B解析 设方程为y22px，准线为x，而M点到准线距离为3，可知1，即p2，故抛物线方程为y24x，当x2时，可
7、得y02，|OM|2.9B解析 抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px2p2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以抛物线为y24x，准线方程为x1，故选B.10.解析 抛物线的焦点坐标为，点F，A的中点为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到抛物线准线的距离为.112解析 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1 m时，为y3，代入抛物线方程得
8、x，所以此时水面宽为2 m.121解析 设A，B，F，由得，(p，yB)，由此得t23p2，yBt.设C，则，(0，2t)，所以12得4t212，故p1.13.解析 由抛物线方程可知p1，焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2px1x21，所以x1x2.设直线AB的方程为yk，代入抛物线y22x，得k22x，即k2x2(k22)x0，x1x2，所以k224，将k224代入k2x2(k22)x0，因为|AF|BF|，所以解方程得x1，所以|AF|x1.14解：(1)双曲线C1满足：解得则c11，于是曲线C1的焦点F1(1，0)，F2(1，0)，曲线C2是以F1，
9、F2为焦点的椭圆，设其方程为1(a2b20)，由题意得即C2：y21.依题意，曲线C3：x22py(p0)的焦点为F(0，1)，于是1，所以p2，曲线C3：x24y.(2)由条件可设直线l的方程为ykx1(k0)，由得x24kx40，16(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.由得3x1x2，代入x1x24k，得x12k，x26k，代入x1x24得k2，由于点A在y轴左侧，所以x12k0，所以k，直线l的倾斜角为.15解：(1)因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x.(2)方法一：假
10、设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得当直线m的斜率不存在时，不合题意当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y2k(x4)，联立方程组消去y，得k2x2(8k24k4)x(24k)20，(*)来源:x1x28，解得k1.此时，方程(*)为x28x40，其判别式大于零，存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20.方法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得易判断直线m不可能垂直y轴，设直线m的方程为x4a(y2)，联立方程组消去x，得y24ay8a160，16(a1)24
11、80，直线与轨迹C必相交又y1y24a4，a1.存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20.方法三：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上，有将(1)(2)，得yy4(x1x2)当x1x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，1，即直线AB的斜率k1，注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C相交)，存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20.【难点突破】16解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m，0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于y1y210y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32)
