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1、10.4.二元函数的泰勒公式、高阶偏导数二元函数zf(x,y)的两个(一阶)偏导数竺,竺仍是x与y的二元函数.dxdy若它们存在关于x和y的偏导数，即dzdzdzdz.dzdzdzdzdxldx丿，dyldx丿，dx4丿，dy4丿称它们是二元函数zf(x,y)的二阶偏导(函)数二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：俘表为dxIdx丿d2zdx2dxdydxdy丿dydxd2zdy2f(x,y).xxf(x,y).xyf(x,y).yxf(x,y).yy混合偏导数)(混合偏导数)一般地，二元函数zf(x,y)的n-1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的1阶偏导数二元函数的n阶偏导数至多有2n个.二
2、元函数zf(x,y)的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号dnz或f(n)(x,y)dxn-kdyky表示二元函数zf(x,y)的n阶偏导数，首先对x求n-k阶偏导数，其次接着对y求k阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数.例1.求函数zx3y3-3x2y+xy2+3的二阶偏导数.解：，3x2y3一6xy+y2.dxdz,dy3x3y2一3x22xy.d2z9x2y2一6x+2y.dydxd2zdxdy，9x2y2一6x2y.、dxdydydxd2z，6x3y+2x.dy2例2.证明：若u，-,r，(x一a)2+(y一b)2+(z
3、-c)2,则r列+凹凹,0.dx2dy2dz2证明：由10.3.例2，有dux一aduy一bdxr3dyr3duz一cdzr3同样，d2u,dx2可得drr3一(x一a)3r2dxdrx一a、dxr13+(yb)2,r3r5一丄+(z-c)2.r3r5于是，d2ud2ud2u+dx2定理1.与f(x,y),yx33+=一+(x一a)2+(y-b)2+(z-c)2dy2dz2r3r5二丄+丄，0.r3r3若函数f(x,y)在点P(x,y)的邻域G存在二阶混合偏导数f(x,y)00xy并且它们在点P(x,y)连续，则00f(x0，y0),fx(x0，y0)(1)空，6xy3一6y.dx2证明令F(
4、Ax,Ay)f(x+Ax,y+Ay)一f(x+Ax,y)0000-f(x,y+Ay)-f(x,y),0000令(x)f(x,y+y)-f(x,y)对(x)在x,x+x上应用拉格朗日中0000值定理，得F(Ax,y)(x+0x)x01f(x+0Ax,y+Ay)一f(x+0Ax,y)Kxx010x010f(x+0Ax,y+0Ay)AxAy；xy0102令中(y)f(x+Ax,y)-f(x,y).同样方法可以得到00F(Ax,Ay)f(x+0Ax,y+0Ax)AxAy.于是有yx0304f(x+0Ax,y+0Ay)f(x+0Ax,y+0Ax).xy0102yx0304令AxT0,AyT0，取极限得(
5、1)式.例3.证明：若zf(x,y),xpcos,ypsin,则d2fd2fd2f1d2f1芳+Qx2dy2Qp2p22pQp证明：QfQfQxQfQy+QpQxQpQyQpfcos+QfSinQxQyQfQfQxQfQy+QQxQQyQ-fpsin+fpcosQxQyQp2Qf“Qp孔齐fcos+fsinJQxQy丿#竺cos2+空sincos+也sincos+竺sin2.Qx2QxQyQyQxQy2Q2QfQf1Qf“QQJQ一生psin+pcosjQxQy丿#竺p2sin2-旦p2sincosfpcosQx2QxQyQx#竺p2sincosdydxp2cos2psin于是，L+丄,ff=
6、L(cos2sin2)f(sin2cos2),p2p2，2p,p,x2,2,fcossincossin+,xp,yp,xp,yp,x2,y2,2f,2f,2f1,2f1,f+,x2,y2,p2p2，2p,p说明：定理1的结果可推广到n元函数的高阶混合偏导数上去例如，三元函数f(x,y,z)关于x,y,z的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个:，3f，3f,x,y，z，,y,x，z，3f，3f,3f,3f,y，z，x,x，z，y，z，x,y，z，y，x若它们在点(x,y,z)都连续，则它们相等.若二元函数f(x,y)所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数(亦称一阶偏导数)有二个，二阶偏导数只有三个(f
7、f),xyyx三阶偏导数只有四个一般情况，n阶偏导数只有n+1个.二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数f(x,y)在点Q(a+h,b+k)的函数值f(a+h,b+k)在点P(a,b)展成泰勒公式，作辅助函数(t)f(a+ht,b+kt),0t1,即(t)f(x,y),xa+ht,yb+kt,0t1.显然,t0,(0)f(a,b);t1,(1)f(a+h,b+k).于是,函数f(a+h,b+k)在点P(a,b)展成的泰勒公式就是一元函数p(t)在点0的泰勒公
8、式(即麦克劳林公式)在t1的值.定理2.若函数f(x,y)在点P(a,b)的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则fQQn1fQQh+kf(a,b)+h+k(QxQy丿(n+1)!VQxQy丿fdifQVQx丿vQy丿1Fn!1f(a,b)表示偏导数_巴在P(a,b)的值,QxiQylf(a+0h,b+0k),001,4)其中符号IQxdy丿VQ(a+h,b+k)G，有(QQ、1fQQh+kf(a,b)+h+k、QxQy丿2!、QxQy丿2f(a,b)+f(a+h,b+k)=f(a,b)+n+1mmf(a,b)=乙Chikmif(a,b)mQxiQym-ii=0丿(4)式称为二元函数f(x,y)在
9、P(a,b)的泰勒公式.在泰勒公式(4)中，令a=0,b=0，就得到二元函数f(x,y)的麦克劳林公式(将h与k分别用x与y表示):f(x,y)=f(0,0)+1QQ+一x一+y一n!(QxQy丿(QQL(00)亠x+yf(0,0)+乙xk+yIQxQy丿n1(f(0,0)+(n+1)!卜丟Qy丿2!(QQ、IQxQy2f(0,0)+n+1f(0x,0y),0015)在泰勒公式(4)中，当n二0时，有f(a+h,b+k)=f(a,b)+f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)k,xy或f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)k,xy6
10、)式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个0.在泰勒公式(4)中，当n二1时，有f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)kxy+丄f(a+0h,b+0k)h2+2f(a+0h,b+0k)hk2xxxy+f(a+0h,b+0k)k2,001.(7)yy例4.将函数f(x,y)=exy展成麦克劳林公式.解：函数f(x,y)=ex+y在R2存在任意阶连续偏导数，且m与i是任意非负整数由公式(5),有,xmdyif(0,0)二1，,xmdyi+(x+y)n+1e(x+y),01.(n1)!三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义设函数f(x,y)在点
11、P(a,b)的邻域G有定义.若(a+h,b+k)eG,有f(a+h,b+k)f(a,b),则称P(a,b)是函数f(x,y)的极大点(极小点).极大点(极小点)的函数值f(a,b)称为函数f(x,y)的极大值(极小值).极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.例如，点(1,2)是函数f(x,y)二(x-1)2+(y-2)2-1的极小点，极小值是f(1,2)=-1.事实上，V(x,y),有(x-1)2+(y-2)20，于是f(x,y)f(1,2).2. 极值点的必要条件定理3.若函数f(x,y)在点P(a,b)存在两个偏导数，且P(a,b)是函数f(x,y)的极值点，则f(a,b)
12、=0与xf(a,b)=0.y证明：已知P(a,b)是函数f(x,y)的极值点，即x=a是一元函数f(x,b)的极值根据一元函数极值的必要条件，a是一元函数f(x,b)的稳定点，即#f(a,b)二0.x同法可证，f(a,b)二0.y方程组f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y的解(坐标平面上某些点)称为函数f(x,y)的稳定#点.八、定理3指出，可微函数f(x,y)的极值点一定是稳定点反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数(双面抛物面)f(x,y)二x2-y2.f=2x,f=-2y.xy显然，点(0,0)是函数f(x,y)二x2-y2的稳定点.但点(0,0)并不是函数f(x,y)=x2-y2的
13、极值点.3. 极值点的充分条件定理4.设函数f(x,y)有稳定点P(a,b)，且在点P(a,b)的邻域G存在二阶连续偏导数.令A二f(a,b),B二f(a,b),C二f(a,b).xxxyyyA=B2-AC.1) 若Av0，则P(a,b)是函数f(x,y)的极值点：(i) A0(或,P(a,b)是函数f(x,y)的极小点.(ii) Av0(或,P(a,b)是函数f(x,y)的极大点.2) 若A0，则P(a,b)不是函数f(x,y)的极值点.注：当判别式A二0时，稳定点P(a,b)可能是函数f(x,y)的极值点，也可能不是函数f(x,y)的极值点例如，函数f(x,y)二(x2+y2)2,f(x,y)二-(x2+y2)2,f(x,y)二x2y.123不难验证，P(0,0)是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点P(0,0)每个函数的判别式A=B2-AC=0.显然，稳定点P(0,0)是函数f(x,y)二(x2+y2
