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1、1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、 A 和 a 的大小无关； ij ij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|a| ；3. 代数余子式和余子式的关系：M = （-1+jAA = （-1+jMijijijij4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D = （-1）叮0;11将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D = （-1） 22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D = D； 33将D主副角线翻转后，所得行
2、列式为D，则D = D ； 445.行列式的重要公式、主对角行列式：主对角元素的乘积；副对角行列式：副对角元素的乘积x （-1）于；上、下三角行列式（|、| = Ikl）:主对角元素的乘积;、If|和I：副对角元素的乘积x（-ik；拉普拉斯展开式：=All、=(1) n范德蒙行列式特征值；大指标减小指标的连乘积；6. 对于n阶行列式AI，恒有:优E A = Xn +丫 （-1）kS h k，其中S为k阶主子式;kkk=17. 证明|a| = 0的方法：、Al = -IaI ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解； 、利用秩，证明rn ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1.
3、A是n阶可逆矩阵：o |a|丰0 （是非奇异矩阵）；o r（A） = n （是满秩矩阵）o A 的行（列）向量组线性无关o齐次方程组Ax = 0有非零解；o Vb e Rn, Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0;o ATA 是正定矩阵；o A的行（列）向量组是Rn的一组基;o A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA* = A*A = AE无条件恒成立;3.( A-1)* = ( A* )-1(A-1)T = (AT )-1(A*)T = (AT )*(AB)T = BT AT(AB)* = B* A*( A
4、B)-1 = B-1 A-14.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆:，贝y：II、A-i =A-12、-1-1-1-1As丿( A -1(0(0( A - 1As-1 丿s0 B-1丿B-1、0丿；（主对角分块）；（副对角分块）ACB-1)B-1丿；（拉普拉斯）(A-i( - B -1CA -1 B -1 丿；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m X n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：0、0丿；mXn所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简F =
5、r （0等价类单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r（A） = r（B）o -B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) T (E, X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ； 、对矩阵(A,)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-iB，即：(A,B)(E, A-iB); 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果(A,b)二(E,x)，则A可逆, 且 x = A-ib ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初
6、等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵；，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元素;ii行丿f 1-1f 1、对调两行或两列，符号E(i, j)，且E(i, j)-i = E(i, j)，例如：1=1 ;1丿:1丿 、 倍 乘 某 行 或 某 列符号 E(i(k)，且 E(i(k)-i = E(i(*)，例如：-1f1、(k 主 0);1丿f 1k、-1f1-k、11(k 主 0);, 1丿1丿 、 倍 加 某 行 或 某 列符 号 E(ij(k),且 E(ij(k)-i = E(ij(-k)，如:5. 矩阵秩的基本性质： 、0 r(A ) m
7、in(m,n)；mxn 、r (At ) = r (A)； 、若，则 r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，则r二r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B)；(探 、r(A + B) r(A)+r(B)；仝 、r(AB) min(r(A),r(B)；(探 、如果A是m xn矩阵，B是n x s矩阵，且AB = 0，贝U:(探I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B) r(A) + r(B) -n ；6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：
8、一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用 结合律；1 a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；0 0 J二项展开式：(a + b)n = Coan + Ci an-ibi + + CmQn-mbm + + Cn-iaibn-1 + Cnbn Z CmQmbn-m ； nnnnnnm0注：I、(a + b)n展开后有n +1项；II、CmnC0 Cn 1 nnn(n -1)(n - m +1)n!m !(n - m)!III、组合的性质：Cm Cn - mnn、利用特征值和相似对角化:Cm Cm + Cm-1n +1nnZn Cr 2nnr0rCr nCr-1 ；nn
9、-17. 伴随矩阵： nr (A) n 、伴随矩阵的秩：r(A*) - 1r(A) n-1 ;0r (A) n 一 1 、伴随矩阵的特征值：A (AX-九X,A* lAlA-m A*X入入、A* AA-i、a* |A|n-18. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A) n , A中有n阶子式不为0, n +1阶子式全部为0；(两句话) 、r(A) n , A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组：Ax -b，其中A为m xn矩阵，贝U： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程；10. 线性方程组Ax b的求解： 、对增广矩阵B进行初等
10、行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:b-ba x + a x +a x111122inna x + a x +a x、22112222nna x + a x +a x b mi 1 m 22nm n n1.2.3.aa a11121n、a21a22 a.2n aa am1m2mn个未知数）n八xm丿(x )1x.2o Ax = b （向量方程，A为m xn矩阵，m个方程,、(aa -1 2- a )n(x、1x.2=p （全部按列分块，其中p =r b)1b2I xn丿l J丿）;线性表出）
11、I bm丿 、 a x1 1 、有解的充要条件：r（A） = r（A, p） n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性+ a x22m个n维列向量所组成的向量组A : a,a,a构成n x m矩阵A = （a ,a ,a ）；12m12mm个n维行向量所组成的向量组B :卩t,卩t，,pt构成m xn矩阵B二12m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；7 17 2卩卩7Tm p 1 、向量组的线性相关、无关 o Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出o Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解；（矩阵方程）矩
12、阵A 与B 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解; mxnlx n（P 例 14）1014. r（ATA）=r（A） ； （P 例15）1015. n维向量线性相关的几何意义： 、 a 线性相关 o a =0； 、 a,p 线性相关o a,p 坐标成比例或共线（平行）； 、a,p,y线性相关 oa,p,丫共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若a ,a ,a线性相关，则a ,a ,a ,a必线性相关；12s12s s+1若a ,a，,a线性无关，则a ,a，,a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为1 2s1 2s-1对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n-
13、r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维 数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A线性无关，贝Ur s （二 版P74定理7）;向量组A能由向量组B线性表示，则r(A) r(B) ；( P定理3)86向量组A能由向量组B线性表示o AX = B有解；o r(A) = r(A,B) ( P 定理 2)85向量组A能由向量组B等价or(A) = r(B) = r(A,B) ( P定理2推论) 858.方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P，,P，使A = PPP ；12l1 2 l
