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1、 第十六章 选讲内容第1节 极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1. (20xx安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2.(20xx天津理11）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则 .3. (20xx重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则 .4.（20xx湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 (为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐
2、标方程分别为（为非零数）与若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为 5.（20xx福建理21） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上 （1）求的值及直线的直角坐标方程； （2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.6.（20xx 重庆理 15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径_.7.（20xx 天津理 13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.8.（20xx 陕西理 15
3、）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 .9.（20xx 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.10.（20xx 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 .11.（20xx 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，
4、则直线被圆截得的弦长为（ ）.A. B. C. D. 12.（20xx 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，. （1）求的参数方程； （2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.13.（20xx陕西理23）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为(1)写出的直角坐标方程；(2)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标13.解析 （1）由，从而有.(2) ，所以当时，取得最小值，此时点
5、的直角坐标为.14.（20xx北京理11）在极坐标中，点到直线的距离为 .14. 解析 极坐标中的点对应直角坐标系中的点为，极坐标方程对应的直角坐标系方程为，根据点到直线的距离公式 .15.（20xx广东理14）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 15.解析 依题已知直线和点可化为直线和点，所以点与直线的距离为：故应填16.（20xx湖北理16）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则 .16解析 因为，所以，所以，即；由消去得.联立方程组，解得或，即，故1
6、7.（20xx湖南理16（）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线 的交点为，求的值.17.解析 2. ()等价于 . 将 ，代入式即得曲线的直角坐标方程是. () 将代入，得.设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知18.（20xx江苏21（C）已知圆的极坐标方程为，求圆的半径18.解析 由题意得，所以，即，从而，即，故圆的半径为19.（20xx北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点， 则 _.19. 解析 解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分
7、别是.可得两点的坐标，即为方程组的解，用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两点的距离公式可求得.解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.20.（20xx全国丙卷23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.20. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函
8、数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可.解析 （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.21.（20xx天津理11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_.21.解析 直线化直角坐标方程为，由，得其直角坐标方程为，即，则圆心到直线的距离，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为.22.（20xx北京理11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为_.22. 解析 由，化为普通方程为，即，由圆心为，为，则最小值为1.故选D.23.（2107全国2卷理科22
9、）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值23解析 （1）设，则由，解得，化直角坐标方程为.（2）联结，易知为正三角形，为定值所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，.题型161 直角坐标方程化为极坐标方程1.(20xx广东理14）已知曲线的参数方程为(为参数)，在点 处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 2. (20xx安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于
10、极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. 和 B. 和 C. 和 D. 和3.（20xx 湖南理 11）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于，两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_.4.（20xx 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标方程为（ ）. A.， B. ，C.， D. ，5.（20xx全国理23）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标为，设与的交点为，求的面积.5.解析
11、 （1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）解法一：的直角坐标系方程为，所以的圆心到直线的距离，所以，所以解法二：将代入，得，解得，所以，即由于的半径为1，所以的面积为6.（20xx全国甲理23）在直角坐标系中，圆的方程为.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，求的斜率.6.解析（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，设两点处的参数分别为，则，所以，解得，的斜率.解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离，故.题型162 参数方程化普通方程1. (20xx重
12、庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则 .2. (20xx湖南理9） 在平面直角坐标系中，若过椭圆，（ 为参数）的右顶点，则常数 .3.（20xx湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 (为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为 4.(20xx福建理21）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在
13、直线上 （1）求的值及直线的直角坐标方程； （2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.5.（20xx 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）. （1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.6.（20xx 江苏理 21）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线相交于，两点，求线段的长7.（20xx 福建理 21）B.（本小题满分7分）选修44：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆
14、的参数方程为，（为常数）. （1）求直线和圆的普通方程； （2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.8.（20xx 重庆理 15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径_.9.（20xx 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.10.（20xx 北京理 3）曲线（为参数）的对称中心（ ）.A.在直线上 B.在直线上C.在直线上 D.在直线上11.（20xx 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长
