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1、一填空题(每空2分,共20分)1设随机变量X服从参数为的泊松分布,则X的特征函数为。2设随机过程 其中为正常数,和是相互独立的随机变量,且和服从在区间上的均匀分布,则的数学期望为。3强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为的同一指数分布。4设是与泊松过程对应的一个等待时间序列,则服从分布。5袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的t对应随机变量,则 这个随机过程的状态空间。 6设马氏链的一步转移概率矩阵,步转移矩阵,二者之间的关系为。7设为马氏链,状态空间,初始概率,绝对概率,步转移概率,三者之间的关系为。8在马氏链中,记 ,若,称状
2、态为非常返的。9非周期的正常返状态称为遍历态。10状态常返的充要条件为。二证明题(每题6分,共24分)1.设为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式:。证明:左边=右边 2.设X(t),t0是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。证明:当时,=,又因为=,故= 3.设为马尔科夫链,状态空间为,则对任意整数和,步转移概率 ,称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。证明:= =,其意义为步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4.设是强度为的泊松过程,是一列独立同分布随机变量,且与独立,令,证明:若,则。证明:由条件期望的性质,而=,所以。 三计算题(
3、每题10分,共50分)1.抛掷一枚硬币的试验,定义一随机过程: ,,设,求(1)的样本函数集合;(2)一维分布函数。解:(1)样本函数集合为; (2)当时, 故;同理2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。解:设是顾客到达数的泊松过程,故,则 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为,于是,四步转移概率矩阵为,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为。4.一
4、质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。解:一步转移概率矩阵,5.设有四个状态的马氏链,它的一步转移概率矩阵 ()画出状态转移图;()对状态进行分类;()对状态空间进行分解。解:(1)图略; (2)均为零,所以状态3构成一个闭集,它是吸收态,记;0,1两个状态互通,且它们不能到达其它状态,它们构成一个闭集,记,且它们都是正常返非周期状态;由于状态2可达中的状态,而中的状态不可能达到它,故状态2为非常返态,记。 (3)状态空间可分解为:四.简答题(6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答:(略)