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1、目录第三章 晶格振动与晶体的热学性质（共 121） 1一、名词解释（共 8 道题） 1二、简答题 :（ 共 39道题） 2三、作图题（共 2 道题） 14四、证明题 （共 32 道题） 14五、计算题（共 40道题） 53第三章 晶格振动与晶体的热学性质（共121）一、名词解释（共 8 道题）1. 晶格振动。答：由于晶体内原子间存在着相互作用， 原子的振动就不是孤立的， 而要以波的形式在晶体 中传播， 形成所谓格波， 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统， 这个系统的运动就叫晶 格振动。2. 简谐近似答：当原子在平衡位置附近作微小振动时， 原子间的相互作用可以视为与位移成 正比的虎克力， 由此
2、得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。 这个近似即称为简 谐近似。3. 波恩 - 卡门条件答：即周期性边界条件， 设想在实际晶体外， 仍然有无限多个相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。4. 格波答：晶格中的原子振动是以角频率为 3的平面波形式存在的，这种波就叫格波。5. 简正振动模式答：在分析讨论晶格振动时， 将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为 简谐近似 . 在简谐近似下 , 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动 , 可等效成 3N 个独立的谐振 子的振动 . 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式 , 它对应着所有的原子都以该模式的频 率做振动 , 它是晶
3、格振动模式中最简单最基本的振动方式。6. 声子答：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子， 它是一种玻色子， 服从玻色 爱因斯坦统计。7. 波矢密度波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为，Vc 为晶体体积。8. 模式密度 答：单位频率间隔内模式数目。二、简答题 :（ 共 39 道题 ）1. 为什么说“晶格振动”理论是半经典理论？答: 晶体中的格点表示原子的平衡位置， 晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格振动的研究是从晶体热力学性质开始的杜隆 - 珀替定理总结了固体热容 量在室温和更高的温度适合而在较低的温度下固体的热容量开始随温度的降 低而不断降低，从而进一步发展出了量子热熔理论。但是经
4、典晶格振动理论 知识局限于固体的热学性质，故是半经典理论。首先只能求解牛顿方程， 并引入了格波， 而且每个格波的能量可用谐振子 能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不 用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、 格波数目或格波振动模式数目是否是一 回事？答：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾， 在分析讨论晶格振动时， 将原子间互 作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似 . 在简谐近似下 , 由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动.每 个谐振子的振动模式称为简正振动模式 , 它对应着
5、所有的原子都以该模式的 频率做振动 , 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式 . 原子的振动 , 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加。简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事 , 这个数目等于 晶体中所有原子的自由度数之和 , 即等于 3N。3. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。答：由一维单原子链的色散关系=2qa2可求得一维单原子链中振动格波的相速度为q = m辟/qa2群速度为血 fK qagqacos 可dq m 24. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？答：由于实际晶体的大小总是
6、有限的， 总存在边界，而显然边界上原子所处的环 境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所 差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边 界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多 个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第Nt+j个原子的运动情况一样，其中t = 1, 2, 3。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。5. 引入玻恩卡门条件的理由是什么？答：(1)方便于求解原子运动方程。除了原子链两端的两个原子外，其它任一
7、个原子的运动都与相邻的两 个原子的运动相关即除了原子链两端的两个原子外，其它原子的运动方 程构成了个联立方程组但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其 运动方程仅与一个相邻原子的运动相关，运动方程与其它原子的运动方程 迥然不同与其它原子的运动方程不同的这两个方程，给整个联立方程组 的求解带来了很大的困难。(2)与实验结果吻合得较好。对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无时无刻不在 运动。对于有N个原子构成的的原子链，硬性假定ui =0,un =0的边界条件是不符合事实的其实不论什么边界条件都与事实不符但为了求解近似 解，必须选取一个边界条件晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的
8、最有力验证。玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件。实验测得的振动谱 与理论相符的事实说明，玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界 条件。6. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子，其最大振幅是否相同？答：以同种原子构成的一维双原子分子链为例，相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子，设一个原子的振幅A,另一个原子振幅B,则有两原子振幅之比B 打 2 _m 2A_ PP2eJqa其中m原子的质量.由色散关系公式可得声学波和光学波的频率分别为12sin2()_ (：1722 7_1/21.2 (+ )01/2.2/qa Isin(R2 - J+ (D2将(2)(3)两式分别代入(1)式，得声学波和
9、光学波的振幅之比分别为1/2B (：)2曲需)A仔叩_(生+鳥、“4吋B A1/21 2 - 2/qa、 )1sin ()(：1 J 2 V 2eqa-iqa#由于% + Se =p(片 + P2 cosqa)2 +(P2 sin qa)21/2=( :2)2:2(cosqa). ： ) 14：2 sin2(qa)-(1 J1-” jsm (?)则由(4)(5)两式可得，B =1 .即对于同种原子构成的一维双原子分子链，相距A为不是晶格常数倍数的两个原子，不论是声学波还是光学波，其最大振幅是相 同的。7. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中
10、哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图 中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动?aa图2答：上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振 动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。8. 波矢空间与倒易空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的 ？ 答：波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为bl b2、氏，而波 矢空间的基矢分别为 d/Ni、b2/N2、6/N3, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢 ai、a2、a3方向晶体的原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为bi (b2 b3)=J波矢空间中一个波矢
11、点对应的体积为bl (b2 J,Ni N2 N3即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N.由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个 倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准 连续的。9. 由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有 r个原子，试问晶格振动 时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N,模式取值数=晶体的总自由度10. 对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个
12、原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少?答：2N, 6NL11. 在三维晶体中，格波独立的点数 N,格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少?答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn,格波总支数是3nN,对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。12. 试述长光学波与长声学波的本质区别？答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非
13、复式格子）晶体不存在光学支格波。13. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子（正负离子）产生了相对位移。长声学格波的特点是，原胞内所 有的原子没有相对位移.因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。14. 晶体中声子数目是否守恒？答：频率为 亠的格波的（平均）声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守恒，它是温 度的变量15. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？答：频率为的格波的（平均）声子数为n 二一e1/ kBT _/J#因为光学波的频率 比声学波的频率止高
14、,（eb0/kBT-1）大于#（e/kBT 一1）,所以在温度一定情况下,一个光学波的声子数目少于一个声学 波的声子数目。16. 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多？答：设温度Th Tl，由于（八几一1）小于（八狙一1）,所以温度高时的声 子数目多于温度低时的声子数目。17. 高温时,频率为的格波的声子数目与温度有何关系？答：温度很高时,e /kBT. -1 ,频率为】的格波的（平均）声子数为1 kpT八飞一1可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。18试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？解：格波的量子
15、声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时， 总能量守恒，但总动量却不一定 守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。19. 在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？答：频率为宀的格波的振动能为11 =（ni 匕）打，其中ni是由ni个声子携带的热振动能，/2）是零点振动能，声子数1冷篇页匸;.绝对零度时，ni =0.频率为二的格波的振动能只剩下零点振动能。格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时，声子消失,格波间不 再交换能量。20. 温度很低时,声子的自由程很大,当T 0时，7
