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1、最短途径问题将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短途径问题 教学内容解析:本节课的重要内容是运用轴对称研究某些最短途径问题,最短途径问题在现实生活中常常遇到,初中阶段,重要以“两点之间,线段最短”“三角形两边之和不小于第三边”为知识基本，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一种典型故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短途径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再运用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目的设立:1、 能运用轴对称解决最短途径问题。2、 在解题过程能总结出解题措施,能进行一定的延伸。3、体
2、会“轴对称”的桥梁作用,感悟转化的数学思想。教学重点难点：重点：运用轴对称将最短途径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点:如何运用轴对称将最短途径问题转化为线段和最小问题。学情分析：1、八年级学生的观测、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较单薄，自主探究和合伙学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合伙意识,能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识,但在数学的说理上还不规范,集合演绎推理能力有待加强。、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基本。教学条件
3、分析:在初次解决问题时,学生浮现了多种措施,通过测量,发现运用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而运用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性;最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、t教学过程：环 节教师活动学生活动设计意图一复习引入.【问题】:看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题?.这样的问题,我们称为“最短途径”问题。、两点之间，线段最短。2、两边之和不小于第三边。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识构造做铺垫。二探究新知1.探究一:【故事引入】：唐朝诗人李颀在古参军行中写道：“白日登山望峰火，傍晚饮马傍交河”诗中就隐含着一种有趣的数学问题,古时候有位
4、将军,每天参军营回家,都要通过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了,问题：如何走才干使总路程最短呢？认真读题，仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手,由简到难，逐渐进一步。二探究新知2.探究二:【变换情境】:后来将军把家搬到了河的对面,若还是要带马先到河边喝水,然后再回家，应当如何走,才干使总路程最短呢?(1)【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗?(2)【展示】：让学生猜想,并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽量多)，分别展示各小组的作法。予以学生一定的提示。(3)【度量】:如何才干判断哪种猜想是
5、对的的呢?（测量一下）在几何画板中分别度量出C,BC的长度,并计算C+C。让学生观测数值如何变化。并反思各自的作法与否对的。【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C,使C满足A+BC的值最小。【学生展示】:作法1: 作法2：作法3:【学生反思】：第1种作法是运用“垂线段最短”，得到最短,运用“两点之间线段最短”,得到B最短,但不能拟定A+B是最短的。第2种作法只能阐明在河l上取一点,到、B两地的距离相等,也就是ACBC。不能阐明AC+BC最短第3种作法应当是对的的。学生积极摸索，充足发挥学生的积极性。展示多种措施,产生思维冲突,引
6、起学生进一步探究的学习欲望。二探究新知3.解决问题【追问】用第种作法的同窗,你们是如何想到作点B有关直线L的对称点的?为什么要作对称点？如果做点B有关直线L的对称点，就是把点移到了另一侧,并且满足了BC。其实直线L上所有点到B和的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段B的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。运用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称,把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的对的性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中,体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。(）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？【提
7、示】:没有比较就不会产生大小。一般我们要在直线上任另取一点C（与点C不重叠）,只要证明AC+BCC+BC即可。教师动手操作，验证结论的对的性。（1）学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生阐明证明过程，教师版书。()共同完毕证明过程。认真观测，思考，要想确认ABC最短,可以在直线l上任取一点（不与点重叠）1.独立纠错2兵教兵让学生进一步体会作法的对的性,提高逻辑思维能力。通过动画演示,从特殊到一般地验证了前面的结论。三发散思维除了作点B有关直线l的对称点以外,尚有无别的作法?还可以作点A有关直线l的对称点。发散思维,培养学生一题多解的能力。四得出结论【问题】:我们是如何解决将军饮马问题
8、的?先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一种点有关直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚刚的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。五 变式巩固【问题】:如图,已知：P、Q是ABC的边AB、 C上的点，你能在B上拟定一点R，使PQR的周长最短吗?在具体问题中实践已有模型,固化已有模型。为进一步丰富、完善知识构造做铺垫。六 拓展提高【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A出发,先牵马去草地 O吃草,再牵马去河边ON喝水, 最后回到驻地A问:这位将军如何走路程最短?【问题】:如图,A为马厩，B为帐篷,将军某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一
9、处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你协助拟定这一天的最短路线。七巩固练习1. 【题目】：如图,已知:MO内两点、B.求作：点C和点D，使得点在上，点D在ON上，且A+CD+BD+AB最短。2. 【题目】:如图,如图，OCN是矩形的台球桌面,有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问如何撞击白球，使白球A依次碰撞球台边M、O后,反弹击中黑球?习题难度，由易到难，逐渐进一步。让学生进一步巩固解决最短途径问题的基本方略和基本措施。八课堂小结1.【问题】:本节课研究问题的基本过程是什么? 当我们遇到一种实际问题，一方面,我们要将实际问题变成一种数学问题(群答)，也就是抽象成一种数学模型，这样可以
10、协助我们进行实验观测,进而运用合情推理得到一种猜想,然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论,最后再将结论运用到实际问题里。.【问题】:今天我们学习了最短途径的有关问题,我们应当怎么样找到它们的最短途径呢?先拟定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点拟定所求位置点（连接各对称点拟定所求位置点）。我们要先将实际问题变成一种数学问题，然后观测实验，提出猜想,之后通过证明,验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。如何求解培养学生总结在课题学习的基本思路。九课后拓展【问题】：在矩形ABD中,在边和对角线A、D上有两个动点M、N，当、N运动到何处时,M+MN最短?根据解题措施进行深度拓展（难度大)
