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1、分类号O172.2 编号 2012010644托7戶平阳知屯毕业论文题目学院姓名专 业 学号研究类型 指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已 经发表或 未经发表的成 果、数 据、观 点等均 已明确 注 明出处 除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：摘 要： 介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条 件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎 曼积分和勒贝格积分
2、的区别与联系.关 键 词 ： 黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Levesque IntegralAbstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Levesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classe
3、s of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Levesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented.Keywords: Riemann integral; Levesque integral; measurab
4、le function; integral function目录1引言 21.1 微积分的发展史 21.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入 22 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 52.1 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 52.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较 72.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 92.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类 122.5 黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较 133 黎曼积分与勒贝格积分的主要联系 154文章总结和展望 164.1文章总结 164.2 文章展望 16参考文献 18致谢 19黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系1 引言1.1 微积分的发展史积分学的历史
5、很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作, 他在抛物线求积法中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形 同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工 作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到 17 世纪下半叶,牛顿和莱布 尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论 及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务.牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也 发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿 莱布尼茨
6、公式，即设F(x)是f (x)的不定积分，则有成立f f (x)dx = F (b) - F (a).a此公式使得积分的计算大为简便，是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以 应用的理论了.1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入数学史上提出用分割区间，做和式的极限来明确的定义积分的是A. Cauchy,他考察的 积分对象是在la,b上的连续函数并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A. Cauchy 所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不 连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣 ,对积分发展起推动作用的是 J.Fourier 关于三角级数的工作
7、，它指出定义在kb上的函数f (x)可表示为f (x) = a02 +兰(a”cos nx + b sin nx).nn=1其中,1 1 f (x) cos nxdx.-Kb = 1兀 J f (x) sin nxdx n = 1,2,.-K这一结果虽然缺乏严格的论证 ,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视 ,后来Ddrboux又得出如下结论.设f (x)是定义在la,b上的有界函数，做划分A : a = x x x = b,01n= sup f (x)x mi -1i i=inf f (x), x x x i = 1,2,S =工 M (x 一 x ),i-1ii ii -1i=
8、1s =工m (x - x )下积分 J f (x)dx = inf S，上积分 Jf (x)7x = sups，若有 i ii -1i =1a -aaa则f (x)在fa,b上是黎曼可积的.黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足 够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的 接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困 难.比如(1)可积函数的连续性我们知道,函数的可积性等价于lim工w Ax = 0,它涉及分割子区间的长度及函数在iii=1 其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割
9、加细时 ,其振幅不能缩小的那些相应项的 子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连 续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象 的.极限与积分交换次序问题 在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高. 例 1.12na xn12n2a - 2a xnn11 / x n 2nn1,2 )limf (x)= 0,显然him f (x)dx = 0,而lim/nnnsns0(x)dxns0= limnsan2n当 an = n，时 lim 暮=2nfg厶厶此时，积分与极限不能交换次序，只有当a t 0时，即f G
10、)致收敛极限与积分才交换.nn引理1.1 1(有界收敛定理)设f (x)n = 1,2,是定义在上fa,b的可积函数.nil f (x) I M(n = 1,2, x e a,b);niif (x)是定义在上的可积函数且有limf (x)= f (x).nn Tg这里极限与积分交换次序不仅受到1/ (x ) M (n = 1,2,x ea, b)的限制，而且还必须 假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了 .以上例子可以看出黎曼积分虽然 比较简单,但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难 证明,甚至不成立,尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.随着微
11、积分学的发展,人们越来越感觉到它有很大的局限性 ,尤其是随着集合论的一 系列工作的创始,出现一些病态函数,在研究它们的可积性时,黎曼积分迎来新的挑战.例1.2狄里克雷函数D(x),由定义可证DC)不是黎曼可积的，因此必须扩大积分范围.关于微积分基本定理在微积分学基本定理Ix f，(xx = f (x)- f C)中)必须是可积得，但我们知道存在a可微且导数有界的函数,其导数不是黎曼可积的,因此限制了微积分基本定理的应用范围.随着数学的发展,人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决,科学的不断 前进,积分论再进一步革新，勒贝格在Borel测度思想的指导下，也吸收了 Jordan和Peano
12、的 思想,建立了测度论,在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测 函数,利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难,勒贝格大胆的改变了 黎曼积分对定义域的分割方法,而采用对值域的分割,从而缩小振幅,消除了间断点的困难,在二十世纪提出了勒贝格积分 ,它为现代分析学打开了大门 ,勒贝格积分的提出是许多问 题迎刃而解了.我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度,与黎曼积分比较,勒贝格积分虽然有很 多优点,但任何一种理论都不是十全十美的 ,它也有缺点,比如在应用时测度比长度就要麻 烦,反常积分是不存在的等等.2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 黎曼积分和勒贝格积分定
13、义的比较定义211 b(黎曼积分和勒贝格积分的定义)黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:设f (x )在la, b上有 界，对做分割T = (a = x x 0,使得|a,b上的任意分割T以及任意选取的E,，只要ITII 5时，属于T的积分和 s二工f (g JG -x )都满足|s- Jg，则称f (x)在L,b上可积，称J为则称f (x)在L,b上在上的定积分记作黎曼积分的思想是“分割,求和,近似代替,取极限” ,这里的分割是对定义域的分割,对黎曼 积分还有另一种定义.定义2.1.2设f (x)在la,b上有界，对la,b做分割,T= x x x = b, 其0 1 n
14、xgAx ,Ax =中令 M = supf (x), x g Ax , m = infi i ii=1S = M (x - x )，若有i ii-1i=1f Sdx = f sdxaa则称f (x )在a, b上黎曼可积.定义2.1.3li我们已知，测度是长度的推广，启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑 将区间推广到测度空间,对于被积函数按照黎曼积分的思想 ,必须使的在分割区间以后在 尽可能多的区间上函数振幅足够小,这使得具有较大震荡的函数被排除在外 ,勒贝格大胆 的采用逆向思维的方法,从值域入手,提出勒贝格积分,即V50，作m = y ,y y = M，其中|y -y 6 ,m ,m分别为f (x)在E上的上界 01nii-1和下界，令E = x, y f (x) y ,C = 1,2，n)若limY y mE存在，则f (x)勒贝格可积.ii-1i6t0i-1i=1一般的可测函数的积分定义为：设在可测集E上可测,
