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1、“正视”几何体410014 湖南省长沙市26中 彭向阳三视图是从三个不同位置（正前方、正左方和正上方）观察几何体而得到的图形，它是正投影下的平面图形，形象地说就是用一束平行光线从这三个方向照射几何体而得到的影子.但问题的关键是什么方向是正前方，这个没有明确规定，所以导致许多同学在解决由几何体的三视图来确定几何体的形状问题时，不能正确画出几何体的直观图，更不能准确由三视图中的数据得到几何体中相关的棱长和元素间的位置关系，从而导致解题错误. 正视图侧视图俯视图由三视图来求解几何体的相关问题，首先必须由三视图确定几何体的直观图，同时由三视图给定的数据得到几何体中相关棱的长度才能解决. 只要通过三视图
2、确定了几何体的“正视”方向，那么“侧视”和“俯视”就比较容易理解了. 如果确定几何体的“正视”方向，一般要结合三个视图，特别是俯视图来分析，逐步调整，绝对不能孤立地看待这三个视图的作用.例1 如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A B. C. D.解析 很容易由三视图知这个几何体是四棱锥，但许多同学由“正视图与侧视图是边长为2的正三角形”得到底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，等于2，于是棱锥的高为，所以这个四棱锥的体积为，选择A.这里的问题是正视图和侧视图不是侧面，而是底边是正方形的边，腰是侧面三角形底边上的高构成的三角
3、形，所以由已知“正视图与侧视图是边长为2的正三角形”知棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面的高是2，所以棱锥的高为，所以这个四棱锥的体积为，选择D.例2 已知正三棱锥的正视图和俯视图如图所示，画出该三棱锥的侧视图和直观图.直观图侧视图解析 由于几何体是一个简单的三棱锥，所以它的直观图容易画出，如图所示，但关键是正视图是从什么方向去看的，从而找到两个视图中给出的两个数据在几何体中的实际含义. 抓住俯视图中的是竖直的，所以正前方的方向应该是沿着棱的方向，从而正视图是沿着方向观察得到的等腰三角形，其中重合，点在点的后面，看不到；正视图中的线段长度不是几何体中的棱的长度，而是点到的距离；正视图中边上的高
4、就是几何体中三棱锥的高的长度，从而正视图不是等腰三角形，由向作垂线，这个垂足就是几何体中的点，同时；于是正视图中的就是几何体中的侧棱.正视图俯视图正视图的观察角度确定了，那么侧视图就是将视线从正视方向旋转方向得到，即沿着几何体中的方向去观察，得到如图所示的，其中线段就是几何体中棱的长度，线段垂直于，长度等于几何体中的高，侧视图中和边上的中点重合，侧视图中的线段，但不等于几何体中的，比几何体中的小.俯视图中的就是几何体中的底面，边长为，俯视图中点后面看不到的是几何体中的点.于是得到正三棱锥是底面边长为，侧棱长为4的几何体，容易求得它的表面积和体积等相关问题.例3 一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥
5、的全面积为（ ）A B. C. D. 634634636解析 这是2009年海南、宁夏的高考试题，首先必须清楚三视图的排列位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图画在正视图的下边. 根据俯视图，这个三棱锥底面是等腰，其中，顶点在底面上的射影是底面直角三角形斜边上的中点，如图所示.由俯视图知正视图是按方向观察所得，由正视图得. 侧视图是按方向观察所得，由侧视图知. 于是底面面积，故该棱锥的全面积为. 选择A.例4 设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该几何体的体积为 .222331解析 按照三视图的排列顺序初步判断这个几何体是三棱锥，从俯视图知底面中. 正视图是垂直于直线观察得到的
6、，由正视图得，且为的中点. 侧视图是沿着方向观察得到，由侧视图知，面面，作于，.于是得到三棱锥的底面是，边上的高为3的等腰三角形，面面，于，.于是体积.故填4.俯视图正视图例5 如图是一个几何体的正视图和俯视图.（1）试判断该几何体是什么几何体；（2）画出其侧视图，并求出该平面图形（侧视图）的面积.解析 由该几何体的正视图和俯视图可知这个几何体是一个正六棱锥. 从正视图知，正视图是视线垂直于正六边形的一边观察得到的，从而侧棱长为. 由俯视图知底面正六边形的边长为.侧视图从而该几何体的侧视图，如图所示，其中，且的长是俯视图正六边形对边间的距离，容易求得，是正棱锥的高，所以该平面图形（侧视图）的面
7、积为.由三视图得到空间几何体的直观图，要求有比较强的空间想象能力，一定要注意规则：长对正，高平齐，宽相等. 特别注意由三视图得到直观图中的相关线面关系和相关数据.例6 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）44正视图3侧视图俯视图A8 BC10 D解析 这是2011年高考北京理科试题，要求出四个面的面积的最大值，就必须求出四个面的面积，而要求出这四个面的面积，就必须知道这四个面是什么三角形，所以问题还是归结为由三视图画出这个四面体的直观图，即还原几何体. 而这如果还原准确就是许多同学的软肋. 先根据三视图画出个直观草图，再对照直观图和三个视图来调整和确定直观图中相关线段的关系和长度. 正视图应该看到的是直观图中的，有；俯视图看到的是直角三角形，应该是，有；侧视图是沿着方向从左往右看，侧视图是个直角三角形，所以，且. 这样就得到四个面的形状和相关数据，中，所以；中，所以；中，所以；中，所以. 故该四面体四个面的面积中，最大的是，为10，从而选择C.4
