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1、2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1函数的最小正周期为 【答案】【解析】T|2设（为虚数单位），则复数的模为 【答案】5【解析】z34i，i21，| z |53双曲线的两条渐近线的方程为 【答案】【解析】令：，得4集合共有 个子集【答案】8【解析】2385右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 【答案】3【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n46抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙899091
2、8892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：方差为：7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 【答案】【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：249抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)
3、 若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 【答案】2，【解析】抛物线在处的切线易得为y2x1，令z，yx画出可行域如下，易得过点(0，1)时，zmin2，过点(，0)时，zmaxyxOy2x1yx10设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 【答案】【解析】所以，11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式 的解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，)【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x0的图像。不等式，表示函数y的图像在yx的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)。xyyxyx24 xP(5,5)Q(5, 5)12在平面直
4、角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 yxlBFOcba【答案】【解析】如图，l：x，c，由等面积得：。若，则，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：，所以，离心率为：13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 【答案】-1或【解析】14在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为 【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1，q2，an26n记，则，化简得：，当时，当n12时，当n13时，故nmax12二、解答题：本大题共
5、6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知，（1）若，求证：；（2）设，若，求的值解：（1）ab(coscos，sinsin)，|ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2，所以，coscossinsin0，所以，（2），22得：cos()所以，带入得：sin()sincossinsin()1，所以，所以，16（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点求证：（1）平面平面；（2）证：（1）因为SAAB且AFSB，所以F为SB的中点又E，G分别为SA，SC
6、的中点，所以，EFAB，EGAC又ABACA，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面（2）因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCBC，AF平面ASB，AFSB所以，AF平面SBC又BC平面SBC，所以，AFBC又ABBC，AFABA，所以，BC平面SAB又SA平面SAB，所以，17xyAlO（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线， 求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 标的取值范围解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)设切线为：，d，得：故所求切线为：（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得
7、：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a18（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，CBADMN 乙步行的速度应控制在什么范围内？解：
8、（1）如图作BDCA于点D，设BD20k，则DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示则：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000，其中0x8，当x(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短（3）由（1）知：BC500m，甲到C用时：(min)若甲等乙3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min) 此时乙的速度最小，且为：500m/min若乙等甲3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC
9、上用时： (min) 此时乙的速度最大，且为：500m/min故乙步行的速度应控制在，范围内19（本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记，其中为实数（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而0，故经检验，当时是等差数列20（本小题满分16分）设函数，其中为实数（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论解：（1）0在上恒成立，则， 故：1，若1e，则0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；若e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，满足故的取值范围为：e（2）0在上恒成立，则ex，故：()若0，令0得增区间为(0，)；令0得减区间为(，)当x0时，f(x)；当x时，f(x)；当x时，f()lna10，当且仅当时取等号故：当时，f(x)有1个零点；当0时，f(x)有2个零点()若a0，则f(x)lnx，易得f(x)有1个零点()若a0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x0时，f(x)；当x时，f(x)此时，f(x)有1个零点综上所述：当或a0时，f(x)有1个零点；当0时，f(x)有2个零点
