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1、实验三函数逼近、实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。2. 会求函数的插值三角多项式。二、实验问题1)由实验得到下列数据xj0.00.10.20.30.50.81.0yj1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合。(2)求函数f(x)=x2cosx在区间一兀,兀上的插值三角多项式。三、实验要求1. 利用最小二乘法求问题(1)所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。2. 求函数f(x)=x2cosx在区间-兀,兀上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与f(x)的图形比较。3. 对函数f(x)=x2cosx，在区间-兀,兀上的取若干点，
2、将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。数值分析实验报告实验课题】利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线实验目标】(1) 加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解(2) 学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】在函数的最佳平方逼近中f(x)Ca,b,如果f(x)只在一组离散点集x,i=0,1,m上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据(X,y),i=0,1,m的iii曲线拟合，这里y=f(x),i=0,1,m，要求一个函数y=S*(x)与所给数据ii(x,y),i=0,1,m
3、拟合，若记误差5=S*(x)y(i=0,1,m),6=(,6,iiii01mi设9(x),Q(x),9(x)是Ca,b上的线性无关函数族，在01n9=spanQ(x),Q(x),Q(x)中找一个函数S*(x)，使误差平方和01n|l5|2=迟52=XS*(x)y=min迟S(x)y2iiiiii=0i=0S(x)Qi=0这里lS(x)=a9(x)+a9(x)HFa9(x)(nm)0011nn这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。通常在最小二乘法中考虑加权平方和有(9,9)=X(x)9(x)9(x),jkijki=0(f,9)=X(x)f(x)9(x)=d,k=0,
4、1,nkiikki=0上式可改写为区（,）a=d,k=0,1,n。kjjkj=o这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形式Ga=d,其中a=（aa,a）t,d=（dd,d）t0,1n0,1n（,）,（,）,，,（,）00010n（,）,（,）,，,（,）100101I（,）,（,）,，,（,）丿n1n1n1求出aa,a0,1n则拟合函数S*（x）=a+ax+ax2hfaxn012na=inv（G）*d实验问题】由实验得到下列数据xj0.00.10.20.30.50.81.0yj1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合。利用最小二乘法求所给数据的2次、3次
5、、4次拟合多项式，画出拟合曲线。【实验过程与结果】编写程序后运行，n=234分别计算，得出结果和图像结果分析、讨论与结论】（1）n=2时x=0.00.10.20.30.50.81.00.610.912.02y=1.00.410.50n=2p=leastsq(x,y,n)I=lsp(p,t)回车得到结果p=0.7356-1.24003.1316所以拟合多项式为I=t*(18733*t)/5982-73337/99700(2) n=3时x=0.00.10.20.30.50.81.0y=1.00.410.500.610.912.02n=3Apleastsq(x,y,n)I=lsp(p,t)回车得到结
6、果0.9266-4.659112.8147-6.6221所以拟合多项式为1=0.9266-4.6591t+312.8147tA2+-6.6221tA3;(3) n=4时x=0.00.10.20.30.50.81.0y=1.00.410.500.610.912.02n=4p=leastsg(x,y,n)I=lsq(p,t)回车得到结果A=0.9427-5.29872.4674179/59820)+2.462.4616.2747-12.33482.8853附程序1.Mainx=0.00.10.20.30.50.81.0y=1.00.410.500.610.912.022.46symstn=2p=leastsq(x,y,n)c=lsp(p,t)plot(x,y,*)2.functionp=leastsq(x,y,n)m=length(x);G=zeros(n+1,n+1);b=zeros(n+1,1);fori=0:nforj=0:nG(i+1,j+1)=(x.Ai)*(x.Aj);endendfork=0:nb(k+1,1)=(x.Ak)*y;endp=inv(G)*b;3.functionI=lsp(p,t)m=length(p)-1;I=p(m+1);forj=m:-1:1I=I.*t+p(j);end
