2.5一阶隐式微分方程

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1、2. 1线性方程2. 2变量可分离方程2. 3全微分方程2.5弟_早2. 5 一阶隐式方程2. 6近似解法2. 7 一阶微分方程的应用2. 4变量替换法2.8lb Q I Q b 0-10 卅4 2. 5 一阶隐式微分方程一阶显式微分方程y = /Uy)一阶隐式微分方程F(x,y,y)=0(2.5.1)能从上式中解出y：就可以化成显式方程.例1求解微分方程dyQ M O卜原O &“iQ悄京解：方程左端分解因式，得(少-(x + y)字+ xy = O. axax(”务沪o 从而得到两个方程世-兀=0, 字一尸0.dxdx故原方程的通解可以表示为尸 + 十+, y = C2e 通解也可以表示为(

2、y - 2 + G)()，- C0 ) = 0.ii4 o O卜页0返0 赵一、可解出y或x的方程从方程中解出y得到y/dy) 这里设/(x,yr)关于儿y有连续偏导数, 解法：引进参数P = y则方程变为y = f(p)(2. 5. 4 )将上式两边对X求导，得、,_ Of (x, p)( f(x, p) dp dxdp dx5gmr / iihO上贝O卜山0理问结束y = /(x, p) (2.5.4)叭汕严卫也 (2. 5.5)dxdp dx求出方程(255)的通解为 p = gc)将它代入(2.5.4)得通解为y = /(x,(x,c)另外，若还有解p = (x),代入(2.5.4 )

3、得y = f(x9u(x)同理，若能从(2.5.1)中解出才，其求解过 程完全类似.ikt O卜虫0返“O 触例1：求解方程y = (y)-小+牛解：令y则原方程可写成2y = p2 -xp + ( 2. 5. 8 )两边对球导得到整理化简后得方程H域 贝o卜爪o返叫o估电“ =2卩字一(卩+兀字)+ *dxdxp = p+x 字+e(p)字 dxdxiuQ i蓟O卜山O返mQ姑*(字-1)(2“-力=0. dx对半-= o积分得方程的通解为p = x + C将其代入(2.5.8)得原方程的通解2y = CxC279厶X又从2p-x = 0ff原方程的一个解P=2Y2将其代入(2.5.8)又得

4、方程的一个解y =4y = p2-xj + (2.5.8)Clairaut 方 程y = xy -(py )(2.5.11)特点：关于y能解出的一阶隐式方程，g二阶连续可微，且倂工0利用微分法求解此方程令y = p对*求导得y = Xp(p(p)即 (x + 0(“)字=0ax 当- = 0时，有p = C因此通解为dxy = Cr + 0(C)当x+0(p) = 0时,得到Clairaut方程的一个特解x = -（p（p），= -0（p）p + 0（p）ib O I ciO 卜山二. 不显含x或y的方程若方程F(.v, y, y ) =0的左端不显含x,即F(y,j) = 0(2.5.12)

5、解法：引入参数r将上式用参数曲线表示为尸怜，y = h(t)O O O G O下面只须求出X关于t的泰数方程x =(p(t就可以得出微分方程用参数形式表示的解由参数的微分法知的)*=字=嘿，dx (p(t)故 (0 =以/) h(t)积分得(/)于是，方程(2.5.12)的解为df + C.(y = vz(/).例2. 5. 4 求微分方程 胡+ (汀=) 解：令y = tant 一刍解得x = sinZ2 2由于 dy = ydx = tan t cos tdtiwO 巩o卜玻Q返“o培农积分得y = Jsin/J/ = -cos/ + C 故原方程参数形式的通解为Jx = sinr y =

6、 -cos/ + C消去此参数t，得到通解为x2+(y-C)2 = O贸0卜山Q也何0猪*三. 奇解与包络奇解定51设一阶隐式方程有一个特解r: y = (x),xe J如果对每一点PgE在只点任何一个邻域内方程 都有一个不同于的解在P点与厂相切，则称 是微分方程F(x,y,y) = 0的奇解奇解存在的充分条件：定理25设F(凡y)对(x,y,“)wG二阶连续可微, 且由微分方程F(x,y,y) = O的p判别式F(x, y, p) = 0, F； (x, y, p) 0,得到的函数 y = (.rX-te J) 是微分方程的解.若条件 F祕x),0(功丰 0, F：；(x.0(x).0(x)

7、 H 0成立，则y =(p(x)(x e J)是微分方程的奇解.例：讨论方程(yl)y,)2 =ye的奇解.解：对方程有 F(x, y, p) = (y-1)? p - yexx 它的p判别式为(一1)2“一巧二02p(y-l)2=0从两个方程消去p得y = 0显然y = 0是方程的解.又 F；(x,0,0) = -l爲(x,0,0) = 2因此y = 0是奇解.给定以C为参数的曲线族（儿,y,c）=（汲曲线厶 如果在厶上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切, 并且在2的每一段上都有曲线族的无穷多条曲线与之相切.我们就把这条曲线L称为曲线族的包络. 例：单参数曲线族（x-aY+y:=r表示圆心

8、为（4,0） 半径为定长r的一族圆.计此曲线族有包络y=r及丁 = 一厂见右图2. 9冃域O ! il。卜山0匹刖.站京放大图例：求曲线(y-c)-(x-c)= 0的包络 解：令(t(x,y,c) = (y-c)2 -(x-c)3 =0则 dP= -2(y-c) + 3(x-c)=0 de为了消去6将二式代入一式得由兀=0得y = x土，44再由 x-c=04?- yx927O O O d O因此由C判别曲线分解成两条直线,4y =兀和 y = X- 容易知y = x不是包络，4V = x是包络.27仏 Q uto bGi02姑乂内容小结隐式方程可解的形式y = /(x,y) 或 x = /(y,y)F(y,y)= 0 或 F(x, y) = 0 奇解和包络作业:P831 (3) (5) , 2(1) (3) , 4(1), 4 一 , 一 -