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1、2.3 .1等差数列的前n项和(一) 教学目标：1 掌握等差数列前 n项和公式及其推导过程和思想方法.2会用等差数列的前 n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观 察、归纳、反思教学重点：等差数列 n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时 内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能 利用它求和 懈决数列和的最值问题.等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的 获得得益于等到差数列任意的第
2、k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现+通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程：一、复习引入： 首先回忆一下前几节课所学主要内容：1. 等差数列的定义：an an=d , (n2, n N )2 等差数列的通项公式：an P (-“(aam (nm)d 或 an=p门+q (p、q 是常数)3.几种计算公差d的方法：a* -a* - am d=an and= n-1 d= n-m八 a +b.Aa,b,4 等差中项：2成等差数列5. 等差数列的性质：m+n=p+q = *m*q (m, n, p, q N )6. 数列的前n项和：数列中，
3、a1 a2 a3 an称为数列& *的前n项和，记Sn.小故事”：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：现在给大家出道题目：1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3 ; 3+3=6 ; 4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+ +100=5050-教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为 1 + 100=101 ；2+99=101 ; 50+51=101，所以101X 50=5050这个故事告诉我们:(1 )作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西(2)该故事
4、还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法.二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？这是一堆放铅笔的 V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图， 看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且那么，这个V形架上可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的小故事”问题，它可以看
5、成是求等差数列 1,2,3,n,的前120项的和在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示,且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解1.等差数列的前n项和公式1:Sn_ n(a1an)-2证明：S = a1 a2 a an j an Sn = an an 4 ana2 a1 +：2Sn=(aan)2an4)(a3anJ(anan)-a1an2Sn =nan)由此得:Sn从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2.等差数列的前门项和公式2 :Sn = na1n(n
6、- 1)d2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：门,aan但an =ai (nT)d代入公式1即得:Sn二 na1n(n - 1)d2此公式要求$必须已知三个条件：n，a1，d (有时比较有用)总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n，ai，d,an中三个.公式二又可化成式子：Sn n2 (ai ：)n22 ，当dz 0，是一个常数项为零的二次式.三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个 V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为其中C 月120
7、=12，根据等差数列前n项和的公式，得S 120 (1 120)S12072602答：V形架上共放着7260支铅笔.例2等差数列-10 , -6, -2, 2,前多少项的和是 54?解：设题中的等差数列为力n 前n项为Sn则 a1 = -10,d = (-6) - (-1。)= 4, Sn =544 =54由公式可得 解之得：n1 =9, n2 = _3 (舍去)等差数列-10, -6, -2, 2前9项的和是54.例3 一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是 10 ,最小内角为100 ,求边数n.n(n -1)解：由(n 2) 180 = 100n+2 X 10,2求得 n 17n+ 72
8、 = 0,n = 8 或 n = 9,当n= 9时，最大内角100 + (9 1)X 10= 180不合题意，舍去， n = 8.例4在等差数列 玄中，已知a6 a9 a12 a15 =34，求前20项之和.分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求a1, d求解；也可以用等差数列的性质求解.解：法一由a6 +ag +氐 +% =4 +38d =34 由S20=20a1 处d2二 20a 190d 二 5(4q 38d)二 5 二 34 170s20 =佝 +去),20=10(% +a20)亠亠 亠法二由2，而氏 75 = a9 ai2 = Q a20，所以ai +a?o =17 所以 a
9、?。=10江17 =170小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质.在本题的第二种解法中，利用am a3p aq (mp q)这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法.四巩固练习1. 求集合M =的口=7 nE N*且me10。的元素个数，并求这些元素的和”解:由？X100 得 77二正整数兀共有14个，即M中共有14个元臺即：7, 14, X,，9 ,是以？为首项，PS为末项的等差数列.2答：略工在等差数列勺中，若自1 一 14 - aS - al 2- 115 =2，则S15an = 2.2 求氏1 * a52 *1H + 販3.等差数列an的首项为4，公差为d,
10、项数为n,第n项为，前n项和为Sn，请填a1dnanSn51010-28104-38-10-360写下表:4在等差数列玄中，a4=0.8 ,五、小结本节课学习了以下内容:Sn1.等差数列的前 门项和公式1 :2等差数列的前n项和公式2:Sn = na1n(n T)d2ddSn n(a1)n3.22 ，当d工0，是一个常数项为零的二次式六、课后作业：P46 .4 题,6 题七、板书设计(略)八、课后记：2.3.1 等差数列的前n项和(一)(学案)一、【学习目标】1、 知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前 解决一些简单的与前 n项和有关的问题2、经历公式的推导过程，体
11、会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法, 学会观察、归纳、反思二、【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用 .三、【本节难点】灵活运用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题四、【知识储备】1、复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质n项和公式2、(1) 一般形式:a1, a2, an(2)通项公式:an = f (n)前n项和：Sn = 3l a2 .an3、等差数列(1)定义.an - an/ =d(n2)= an成等差数列通项公式：an=a1 (n)d=An B推广：an =am (n- m)d性质：a与b的的等差中项A= A =红卫 2 若m，n
12、= p q,则am a ap - aq特别地：若口“ =2P,则am*n=2ap 奇数项aa3，a5,成等差数列，公差为2d偶数项a2，a4，a6,成等差数列，公差为2d五、【自主学习】1学习等差数列K 前n项和Sn公式推导过程。2、等差数列日二的公差为d，首项为ai，前n项和Sn公式(1) n -公式(2)Sn =S3、前n项和公式n与n的关系式变形：cn(n -11 d 2/ d、Sn = nad n(a1)nn 1 2 2六、小试身手a i等差数列n 中，(1)已知ai = 3, a50 - 101(2)已知2等差数列中,已知d 二1Sn 二15a1_及n=3、等差数列中，若=3n2n,
13、则公差d二七、典型例析例1在等差数列an中，(1)已知 a15= 10, a45= 90,求 渝 已知 S12= 84, S20= 460,求 S28;已知 a6= 10, S5= 5，求 a8 和 S8.例2在等差数列 an中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34,求前20项之和八、当堂检测1. 一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的 通项公式。2根据下列各题的条件，求相应等差数列的未知数.1)a3,a 2n + 1,& =195 求d,n2尹2 +a6 =16 = 39 求 d,an3. d = 3, a2 = 7, n = 12,求 a1, Sn4. 在等差数列an中，a2+a5=19 S5 =40贝U a10为(A)27(B)28(C)29(D)305. 在等差数列 an中，d=2,可=11, Sn =35则al为(A)5 或 7( B) 3 或 5( C) 7 或1( D) 3 或16. 已知数列1,2,3,4,，2n,则其和为，奇数项的和为。九、重点概念总结应用等差数列an的首项为，公差为d，项数为n,第n项为弘，前n项和为Sn，请填写F表:a1dnanq51010-28104-38-10-360检测答案:2 26 0=2n +n 鴿=n1.an=2n+1.2. d=2 ,n=133. ai =4
