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1、卡尔曼滤波器的介绍为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里 会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一 大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核 心内容。他的那结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了5条公式。在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的 探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这 个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟 的温度（假设我们用一分钟来做时间单位） 。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下 偏差几度。我 们把这些偏差看成是高斯白噪声，也就是这些偏差跟前后时间
2、是没 有关系的而且符合高斯分配。另夕卜，我们在房间里放一个温度计, 但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这 些偏差看成是高斯白噪声。好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根 据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面 我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度 值。假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你 会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同 时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的：如果k-1时刻估 算出的最优温度值的
3、偏差是3,你对自己预测的不确定 度是4度，他 们平方相加再开方，就是5)0然后，你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度 和25度。究竟实际温度是多少呢？相 信自己还是相 信温度计呢？究 竟相信谁多一点，我们可以用 他们的covariance来判断。因为度值是：Kqa2=5a2/ (5a2+4a2)所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温23+0.78* (25-23) =24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小(比较相信温度计)，所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在
4、我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时 刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的 东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个 最优值(24.56度)的偏差。算法如下：(1- Kg) *5a2) a0.5=2.35 o 这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出 的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差 (对应于上面的3) o就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance 0上面的Kg,就是卡尔曼增益(Kal
5、manG ain) 0他可 以随不同 的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要 言归正传，讨 论真正工程系统上的卡尔曼。卡尔曼滤波器算法在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率 随即变量高斯或正态分配还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能描 述。首先，我们先要引入一个 离散控制过程的系统。该系统可用一八线性随机微分方程 (LinearStochastic Difference equation )来描述：X(k)=A X(k-1 )+B U(k)+W(k)再加上系统的测量 值：
6、Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k) 是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统 参数，对于多模 型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是 测量系统 的参数，对于多测量系统，H 为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(WhiteGaussianNoise)他们的covariance分别是Q, R (这里我们假设 他们不随系统状态变化而变化)。对于满足上面的条件(线性随机微 分系统，过程和测量都是高斯白噪声儿 卡尔曼滤波 器是最优的信息、处理器。下面我们来用他们结 合他们的covariances来估算系统的最优化
7、输出(类似上一节那个温度的例 子)。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现 在的系统状态是k,根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预 测出现在状态:X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式 中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状 态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制 量，它可 以为Oo到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的 covariance 还没更新。我们用 P 表示 covariance : P(k|k-1 )=A P(k-1|k-1) A +Q (2)式
8、(2)中,P(k|k-1)是 X(k|k-1)对应的 covariance , P(k-1 |k-1)是 X(k-1 |k-1)对应的 covariance , A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1,2就是卡尔曼滤 波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测 量值。结合预测值和测量值，我们X(k|k)= X(k|k-可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)(3)其中Kg为卡尔曼增益(4)到现在为止,(Kalman Gain):Kg(k)= P(k|
9、k-1) H 1 / (H P(k|k-1) H 1 + R)我们已经得到了 k状态下最优的估算值X(k|k) o但是为了要另卡 尔 曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的 covariance :P(k|k)= (l-Kg(k) H ) P(k|k-1)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，1=1。当系统进入k+1状 态时，P(k|k)就是式子的P(k-1|k-1) o这样，算法就可以自回归的运 算下去。使用C语言编程实现(核心算法)。x_mid=x_last;/x_last=x(k-1 |k-1 ),x_mid=x(k|k-1)p_mid=p_last+Q
10、;/p_mid=p(k|k-1)jP_last=p(k-1 |k-1),Q=噪声 kg=p_mid/(p_mid+R); /kg 为 kalman filter , R 为噪声z_measure=z_real+frand()*0.03;/ 测量值 x_now=x_mid+kg*(z_measure- x_mid);/估计出的最优值p_now=(1- kg)*p_mid;/最优值对应的 covariance p_last = p_now;/ 更新covarianee 值 八_UVV；| /八 VUJ、#include ”stdio.h”#include ”stdlib.h”#include Hm
11、ath.hndouble frand()(return 2*(rand()/(double)RAND_MAX) - 0.5); void/随机噪声main()(float x_last0;float p_last0.02;float Q0.018;float R0.542;float kg;float x_mid;float x_now;float p_mid;float p_now;float z real0.56;/0.56 float z_measure;float sumerror_kalman0;float sumerror_measure0;inti;x mid=x last;for(i=0;i1000) 与开机自检有关，没用到的可以删去 zeroflag=1001;确保zeroflag不会溢出/Acc_z = Acc_z - 250;/加速度计采集的AD值减去直立时的输出值
