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1、DVD租赁优化模型高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写
2、完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： DVD租赁优化模型摘要DVD在线租赁问题是涉及到网站经营商和对网站会员的服务双方利益的典型商业问题。本文针对租赁过程中可能出现的几种情况给出了较为合理的网站购买和分配DVD的方案，最后还给出了会员
3、满意度与网站DVD购买量的关系曲线，并得出了两者关系符合经济学中“边际效应”的结论。对已知会员需求，要求给出网站各类DVD购买量决策的问题，会员归还量与购买量之和需要满足题目给定的满足一定比例会员需求的条件。通过假设会员DVD的归还量符合二项分布，并利用概率论中大数定律，可以求得归一化的DVD归还量这一随机变量满足标准正态分布。此时，不同的购买量会影响满足题目条件的概率。于是我们求得了在不同概率下，DVD所需的购买量。由数据看出，不同概率下DVD的购买量相差不多，但由此造成的风险与利润都是相当大的。由此论证了网站经营商追求利润与保守经营的根本原因。其中，置信概率为0.99时，满足一个月内50%
4、的会员看到想看的DVD，则DVD1至DVD5的购买量如下：6199、3089、1538、764、302。满足一(三)个月内95%的会员看到想看的DVD的购买方案如下：3935、1963、978、487、193。对网站已有DVD数量和已知会员需求的条件下，通过调整DVD分配使会员满意度达到最大的问题。采用了运筹学中目标规划的知识，列出了以会员平均标准满意度为目标函数的规划模型，并分别运用Lingo和MATLAB两种数学工具求得最大平均标准满意度为0.889和0.8943。表明了在已有DVD数量的条件下，通过适当的分配，可以基本满足会员要求。对已知会员需求，要求通过购买最少量的DVD来使95%会员
5、满意度最大的问题，通过分析表明了属于多目标规划问题。利用第二问的规划模型，采用双目标规划，同时以购买量和满意度为目标函数。并采用将满意度目标函数转化为软约束的方法将其转化为但目标函数，并分别利用Lingo和MATLAB两大软件求的的各DVD的最小购买量和最大满意度，其中最大满意度分别为对DVD租赁中关于需求预测、购买和分配中的其他问题还有很多，本文提出了预测中常用的简单随机抽样、分类预测、关联预测等三种方法；购买DVD的分段购买策略及建立专门的配送中心等方法，用于强化网站经营管理，提高网站收益。关键词: 满意度 热门指数 多目标规划 01整数规划 边际效应一、问题重述为在线租赁DVD，顾客需缴
6、纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员通过在线提交订单的方式来满足自己的要求；会员提交的订单包括10张想看的DVD，并按照其偏爱程度排序，网站将根据订单和拥有的DVD数目进行DVD的分配。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。看完后放在指定邮箱便算归还了DVD。考虑以下四问：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该
7、DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从http:/ 名词解释标准满意度：标准化的满意度，即除以了最大满意度，使得最单满意度为13.2 符号、变量说明：网站第j种DVD的持有量：第i个会员对第j种DVD的偏爱程度：第i个会员对第j种DVD的满意度：会员总人数10万：每月借两次的人数的概率0.6，即任意一张DVD被归还的概率四、基本假设1、 DVD的租赁周期是一个月，每月均为30天;2、每位会员每月
8、最多可以借两次，且第二次租借需归还前一次的DVD，并重新提交订单；3、DVD归还数量近似服从二项分布；4、DVD租赁过程中无损坏；5、DVD偏好程度同时表示该种DVD的热门程度，具体数值可用倒数和表示。五、建模前的准备5.1 数据准备（1）第一问中各类DVD想看人数在总人数中所占比例表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510愿意观看的人数占总人数比例0.20.10.050.0250.01（2）满意度的衡量指标满意度主要与会员等待时间和会员对DVD的偏好程度有关。显然，会员的等待时间越长，并且对所等的DVD偏好程度越高，越不满意。为减少会员等待时间，应尽可能在收到会员订单时，立刻做出回应，并寄出DVD。否则，在等待多天后，即使顾客收到想要DVD也不完全满意，应乘上一个衰减系数。在会员等待时间相等的情况下，满意度主要会员对DVD的偏好程度有关通过参考文献3和深入的分析，我们可以确定满意度具有以下性质：1）附表2中的数字越小（0除外），偏爱程度越高，满意度越高。为0时，满意度为02）偏爱程度与满意度
