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1、第1章直线和平面的投影1第1章点、直线和平面的投影1.1 内容要点本章基于正投影的原理，从三面投影体系的建立开始，论述了空间几何元素点、线、面的投影及有关投影的几个重要性质、定理。讨论了点、线、面之间的相对位置及其在投影图上的反映。知识结构图：点、线、面在第一分角中各种位置的投影特性投影求直线、平面的倾角，线段实长、平面图形实形点、直线和平面J直线上点的投影特性在平面上取点、取直线的方法相对位置（平行、相交、交叉两直线的投影特性及直角定理线、面与特殊位置面平行、相交、垂直的投影作法线、面与一般位置面平行、相交、垂直的投影作法本章习题围绕上述内容设置，主要包括：1）求一般位置线段的实长和倾角、平
2、面图形的实形。2）在已知直线上取点的作图法（直线上的点的投影具有从属性和定比性）。3）在已知平面上取点和直线的投影作法（利用点和直线在平面上的几何条件作图）4）求直线和平面相交的交点、两平面相交的交线的投影并判别可见性。5）直线与平面平行、平面与平面平行的基本作图法。6）直线与平面垂直、平面与平面垂直的基本作图方法（利用直角投影定理及直线与平面垂直的几何条件）。7）点、直线、平面之间的定位问题及度量问题。1.2 解题要领在解答本章习题时应从题给条件及要求出发，根据投影的基本理论、性质、定理，充分运用平面几何、立体几何知识分析题给条件的几何要素在空间的位置，几何要素之间的相对位置关系及它们在投影
3、图上的反映，确定解题方法及步骤。解题时要求题目理解准确，理论运用熟练，解题思路清晰，作图步骤清楚。#工程制图解题分析在学习本章内容时，既要注重理论知识的学习又要注重空间想象力的培养。一般地，我们研究的对象与我们生活周围的常见模型有关，在学习初期，要注意利用生活空间中的一些常见模型（如墙面、地面可看做投影面）来思考问题，以此来锻炼自己的空间想象、空间分析和空间构思能力。其次，对书本上已经归纳起来的投影规律、定理等应认真地领会，并结合平面几何、立体几何知识，通过着重研究各种图例，达到能够灵活运用这些投影规律和定理的能力，在学习的过程中还应养成良好的作图习惯，勤作图、作好图。1.3 习题与解答1.3
4、.1 点的投影1-1第一分角点A与H面的距离等于其与V面的距离，并知a,试画出其他两面投影。分析：点A在I分角的角平分面上，故其Z坐标值等于Y坐标值，据此可求出a,a。图1-2题作图过程或作图要点说明：1）由a作OX轴的垂线，垂足为ax,并延长。2）在该延长线上量取aax=aax得a。3）利用450辅助线作出a。1-2指出下列各图中的错误，并改正。第1章直线和平面的投影#分析：由a、a可知空间点A在W面上，a应同时在Y轴及H面上，所以a应在Yh轴上。空间点B在H面上，b应同时在 在X轴上，故c”应画在原点处。Y轴及W面上，所以b应在Yw轴上。c、c可知空间点C图1-2解作图过程或作图要点说明：
5、略。1-3 点B在点A之左10mm、之上15mm、之后7mm,点C在点A的正后方且距A点7mm,求作B、C两点的三面投影，重影点需判别可见性。图1-3 题分析：在OX轴下方距OX轴越近表明该点越靠后，其 两点的Y坐标值都比 A点小7mm,点B在点C的左边。 的正前方，故a可见，c不可见。作图过程或作图要点说明：略图1-3解Y坐标值越小。据题意可知B、CA、C两点为V面的重影点，A在C1-4 点A与点B(12,10,15)对称于OX轴，作出点A与点B的直观图及投影图。分析：点A与点B对称于OX轴表示空间点 的坐标应为(12,-10,-15),即点A在第三分角内。作图过程或作图要点说明：1)按坐标
6、数值作点B的投影。2)在同一条投影连线上，在OX轴的上方量取A与点B的连线垂直相交于 OX轴，故点A10mm得a,在OX轴的下方量取15mm得a。1.3.2直线的投影1-5 已知A点的水平投影a,并知AB为铅垂线且A 点在 B 点上方，AB=BC=25mm, BC为水平线，C点距V面为20mm,距H面为10mm,试完成AB、BC、AC的两面投影。图1-5题分析：因为BC为水平线，所以其水平投影bc=25mm,正面投影bc平行于OX轴，又知c、c距OX轴分别为20mm、10mm,这样可先求出C点的两面投影，再求出b。因为AB是正垂线，所以水平投影为一点，正面投影垂直于OX轴且ab=25mm,由此
7、求出a。作图过程或作图要点说明：1）以a为圆心，25mm为半径画弧，由OX轴向下量20mm,交所画弧线于c点。2）由c作投影连线，并在该线上从OX轴向上量10mm得c。3）过c作cb平行于OX轴，得bo4）由b竖直向上量25mm,得a点。1-6在已知线段AB上求一点M（m,m）,使其将AB分成1:3,再求一点N（n,n）,使AN=25mm。图1-6题图1-6解分析：M点将AB分为1:3,可先把AB四等分即可求得MoAB上的N点是决定AN=25mm的一点，因此先要利用直角三角形法则求出AB的实长才能决定No作图过程或作图要点说明：1）由b任引一斜线，将其四等分，端点Ai与a相连，由第三点作Aa的
8、平行线得m;再作出m。2）在水平投影上作直角三角形求得AB=aB1,量取aN1=25作出Ni,返回投影上得n,n。1-7已知线段AB的两投影，求AB上与H、V面等距的点C的面两投影。分析：解法一：点C与H、V面等距，即Yc=Zc,故利用平面几何原理作ab对称于OX轴的线段a1b1,则ab1与ab的交点即为c点的水平投影。解法二：因点的侧面投影能同时反映其丫、Z两坐标，故也可以借助侧面投影作图。作图过程或作图要点说明：解法一：1）作出a点对称于OX轴的点a1及b点对称于OX轴的点4。2）连接ab1交ab与G由c作出c。解法二：1）求出线段AB的侧面投影a”b”。2）过原点作ZOYw的分角线OM,
9、交a”b”于c”,由c”作出c及c。Z图1-7解图1-7 题1-8 已知直线 AB及点C,AB上确定距OX轴为30mm的点D,由于OX轴在侧面投影中积分析：本题作图要点是在直线聚为一点O,因此空间一点与 OX轴的距离可以在侧面投影中得以反映 作图过程或作图要点说明：1）求出AB及C的侧面投影a“b“、c”；2）以O为圆心，半径 30mm画弧交a”b“于d”,由d”作出d及d;3）连接cd、cd、c”d”即为所求。1-9 求AB线段的a角；CD线段的3角。cd分析：求AB的a角须用AB的水平投影和AB两点的Z坐标差组成直角三角形（注意Z差不受线段端点在OX轴上或下的位置影响），水平投影长和斜边的
10、夹角为a;求CD的3角，须用CD的正面投影长和CD两点的Y坐标差组成三角形，这里的Y差就等于cd,正面投影长和斜边的夹角为3。O其3=30。，且已知ab的部分投影，试补全线段AB3角可组成直角三角形， 利用AB实长已知可求 A、B图1-9作图过程或作图要点说明：略。1-10已知线段AB实长等于38mm,的两投影。分析：由线段AB的部分正面投影和两点的Y坐标差，由此可作出b和b点。作图过程或作图要点说明：1）在ab的部分投影上任取一点c,作投影连线cCo,过a作aC0，cC0,并在其延长线上截取CoAo=ac,以CoAo为一直角边作30的直角三角形定出c点。2）延长Aoc到Bo,使AoBo=38
11、mm,过Bo作aCo的平行线，在ac的延长线上定出b。3）延长正面投影ac至b。b图1-10题图1-10解1-11作一直线平行于线段EF,且与AB、CD两线段都相交。分析：所给线段EF为一般位置线，线段c(d)且与ef平行即得直线KL的正面投影kT;线段AB是侧平线，要确定其上的点L的水平投影1,则要用点分线段成比例的特性引比例线段求得。第1章直线和平面的投影#图1-13 题作图过程或作图要点说明1-12作直线:略。EF正交，且与AB、CD两直线都相交。MN与直线图1-12分析：直线MN与AB为铅垂线，交线MN题EF正交，且EF为水平线，由直角投影定理可知其水平投影上成直角，而的水平投影mn必
12、过a(b),由此可先作出水平投影。作图过程或作图要点说明：1)过a(b)作mn垂直于ef,垂足为n,过n引投影连线交ef于n。2)再确定MN与CD的交点1-13作两交叉直线的公垂线实距离。L的正面投影EF,分别与l,连n、l并延长至ab得m。AB、CD交于E、F,并标出AB、CD间的真c（一）d第1章直线和平面的投影#CD为一般位置线，但与分析：（一）中AB线段为铅垂线，与其垂直的线段必定是水平线,之垂直的水平线可以在水平投影中表现为直角。a（b）,且CD为侧平线，与之垂直的线段必定是侧（二）中AB是正垂线，EF的正面投影必过垂线。作图过程或作图要点说明：由f引投影连线交cd于f ,过f 做O
13、X轴的平（一）中：过a（b）作cd的垂线交cd于f,行线交ab于e,即得EF的两面投影。cd于f ,在cd上确定f点（利用点分线段成比（二）中：过a（b）作OX轴的平行线交的特性作图），过f作OX轴的平行线交ab于e。,N点在直线AB上。O1-14图1-14解图1-14题分析：N点在水平线AB上，从正面投影可看出MN两端点的Z坐标差无论N点在AB的哪一处都是一样的，以该坐标差为一直角边和口角构成一直角三角形，另一直角边即为要求的MN的水平投影。作图过程或作图要点说明：1）由m点c引ab的垂线，以此垂线为一直角边和a角构成直角三角形；2）以另一直角边的长为半径，以m为圆心作圆弧交ab于n,由n引
14、投影连线交ab于n。1-15作线段CD的垂直平分线EF,点E距V面40mm,EF=CD且同时也被CD平分。分析：CD为正平线，EF的正面投影必在CD正面投影的垂直平分线上；E点距V面40mm,则E点到CD中点O的Y坐标差是一定的，由于EF=CD,且同时也被CD平分，则OE=OC,由OE的Y差和实长构造直角三角形即可求得OE的正面投影长。作图过程或作图要点说明：1）作cd的中垂线得o点并作投影连线交cd于o点。2）延长oo并在其上截取到OX轴40mm的点Eo,以OE。为一直角边，oc长为斜边作一直角三角形，则另一直角边为oe长，由e得出e。3）由OE=OF定出f和f。1.3.3 平面的投影1-16完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知AC为斜边，顶点B在直线NC上。分析：ABC是等腰直角三角形，故两腰AB、BC垂直且相等。图中NC是水平线,B在NC上，故水平投影ab，bc且bc=BC,再利用直角三角形法作出a。作图过程或作
