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1、例谈数形结合思想在平面向量中的应用河北省遵化市东旧寨中学王广平邮编 064203向量的几何表示， 三角形，平行四边行法则使向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征 . 所以，向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份” 。我们在研究向量问题或用向量解决数学问题时， 如果恰到好处地运用数形结合的思想， 可以将许多复杂问题简单化 ,抽象问题直观化。本文结合实例，将数形结合思想在解决向量问题的妙处做一总结，以供参考。一、利用平行四边形、三角形法则。例 1、（ 2005 年江苏试题）在 ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动A点，若 AM = 2，则
2、OA (OBOC ) 的最小值是.OBMC分析：本题关键是用平行四边形法则OB OC 转化为 2OM 。如图，设 | OA | x ，则 | OM | 2x(0 x 2).由 M 为 BC 的中点，知 OB OC2OM ，而 OA (OBOC ) = OA 2OM = 2x(2 x)cos180= 2x2 4x = 2 (x 1)2 2(0 x 2).所以当 x = 1 时，取最小值 2.注：计算 OA 2OM 的最值亦可用均值不等式。二、利用模的几何意义。例 2、：已知向量 ab 1，且 a与 b的夹角为 1200 ，问 x 为何值时， axb 的值最小 ?并求此时 b 与a- xb的夹角
3、.分析 : 画出图形（如下图），易知axb 就是点A 到直线OB 上的点的的距离。所以，a xb点 A 到直线 OB 的距离 ，即图中所示的AH。在 AOH 中易得 AH 3 。此min2时 b 与a- xb的夹角为 .2a- xbAB1200bOaH注：本题亦可有代数方法解决，但运算量较大。用数形结合的方法，就显得简洁。例 3（2005 年浙江试题）已知ae, e1 ，对任意t R，恒有 | ateae ，则（）A a e B a (a e)C e( a e) D (a e) ( a e)分析：如下图， a te ae 恒成立即 ae 是点 A 到向量 e 所在直线的距离。很显然 e (a
4、e)a-t e.Aaeae注：本题是向量与不等式综合题。一般资料上都是用代数方法求解。比较繁琐，若能联想到向量的几何意义，则可收到更好的解答效果.三、利用向量的方向（夹角）。例 4、 已知，a (2cos ,2sin ),( ， ),b(0 ，-1），求 a与b的夹角。23分析：在平面直角坐标系中做出向量a, b ，可直观地观察出结果。2ya3 o2xb 132注：本题亦可用夹角公式，但还需借助三角函数诱导公式，方可求解。四、利用几何图形。例5、已知点G是ABO的重心，若 PQ过ABO的重心G，且OA a, OB11b, OP ma,OQ nb, 求证：3.mn分析：本题做出相应图形， 再运用向量的几何形式运算. 及向量平行的定理及推论即可解决。显然 OM1(a).O2b因为G是ABC 的重心，所以 OG2OM =1( a b)33A由P、 G 、 Q 三点共线 , 有 PG, GQ 共线 , 所以 , 有且只有一个实数而PG OGOP111(ab)ma (m)a,=OQ-3b GQ33nb1 (ab)1 a(n1)b ,333所以1m a1b()331(n1bab=a33) .又因为、不共线 , 所以1m133, 整理得 3 mn = mn , 故113., 消去11)mn(n33PGQMB,PGGQ.OG =
