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1、在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营#高数中的重要定理与公式及其证明(三)考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上 种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都 是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。 而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又 费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的 考点，或是蕴含了重要的解题思想方法， 在复习的初期，先掌握这些证明过程是 必要的。14) 单调性定理：设函
2、数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。如果在(a,b)上有f(x)0,那么函数f(x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f(x)0，那么函数f (x)在a,b上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不 能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明f(x) 0的情形，f(x) 0的情形类似。洛，X2(a,b)，假定洛 X2则利用拉个朗日中值定理可得，X2,X2使得f(Xi) f(X2) f(xi X2)由于 f0，因此 f (xj f(x2)0。由Xi,X2的任意性，可知函数f(x)在a,b上单调递增。15) (极值第一充分条件)o设函
3、数f(x)在X。处连续，并在X。的某去心邻域U(X0,)内可导。i) 若 X (X0,x)时，f(X) 0,而 X (X0,X0)时，f(X) 0,则 f (x)在 X0 处取得极大值在这里，没有考不上的研究生。ii) 若 x (Xo,Xo)时，f (x) 0,而 x (Xo,Xo)时，f (x) 0,则 f (x)在 x 处取得极小值；oiii) 若x U(xo，)时，f(x)符号保持不变，则f(x)在X。处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。16) (极值第二充分条件)设函数f(x)在xo处存在二阶导数且f(Xo)0,那么i) 若f(Xo)0,则f (x)在Xo处取得
4、极小值；ii) 若f(x。) 0,则f (X)在Xo处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明：仅证明f(Xo)0,的情形，f(Xo) 0,的情形类似。内成立f (x) f x0IfXoXXoIIf Xo2xXo22o XXo由于f(x)在Xo处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在Xo的某领域由于f(Xo)0，因此2f(x) f Xo2x XoX Xof XoO22IIf Xo2O XXoX xo22xXof Xo由高阶无穷小的定义可知，当当XO XXo时，有X2Xo2XoII0,又由于2IIXo2O XXo0。因此在Xo的某领域内成立22xXo进一步，我们有f XoX2fXo0 X2Xof Xo。X02x2Xo0，在这里，没有考不上的研究生。也即，在X。的某领域内成立f(x) f Xo。由极值点的定义可知f (X)在Xo处取得极小值在这里，没有考不上的研究生。16)洛必达法则I设函数f(x),g(x)在x a的空心邻域内可导，g(x) 0,且lim丄凶 A x a g (x)则有死出A，其中A可以是有限数，也可以是【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。 洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论， 证明过程比较简单，也是一个潜在的考 点，需要引起注意。具体证明过程见教材。
