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1、单元检测五 平面向量(总分值:150分 时间:120分钟)一、选择题本大题共12小题，每题5分，共60分1.对于向量a、b、c和实数ab=0，那么a=0或b=0 a=0，那么=0或a=0a2=b2,那么a=b或a=-b ab= ac，那么b=c解析：排除法.a中,ab=0ab.a不正确；C中,a2=b2a2-b2=0(a+b)(a-b)=0.故C不正确;D中,ab= aca(b-c)=0.故D不正确.答案：B2.点O在ABC内部且满足,那么ABC的面积与凹四边形ABOC的面积之比是 B. C. D.解析：设D为BC中点,ABC的面积与凹四边形ABOC的面积之比为|AD|OA|=54.答案：C3
2、.在RtABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是 A. B.C. D.解析：A项中，故A成立.B项中,故B成立.D项中，D成立.应选C.答案：C4.向量a、b满足|a|=1,|b|=,(a+b)(2a-b),那么向量a与b的夹角为( )A.45 B.60 C.90 D.120解析：(a+b)(2a-b)(a+b)(2a-b)=02|a|2-|b|2+ab=0.又|a|=1,|b|=,ab=0a,b=90.应选C.答案：C5.设A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,假设与在方向上的投影相同,那么a与I满足的关系式为( )A.4a-5b=3 B.5a
3、-4b=3C.4a+5b=14 D.5a+4b=14解析：由与在方向上的投影相同,可得,即4a+5=8+5b,4 a-5b=3.答案：A6.假设、是一组基底，向量=x+yx,yR，那么称(x,y)为向量在基底,在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2)，那么在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 A.2，0 B.0，-2 C.-2，0 D.0，2解析：由=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设=m+n=(-1,1)+(1,2)=(-+,+2),那么由=(0,2).答案：D7.如图,在四边形ABCD中,那么的值为( ) B. D.解析：解方程组,
4、得,.又,与共线且方向相同.又,.=22+0+0=4.答案：C8.向量,假设动点P(x,y)满足条件那么P(x,y)的变动范围(不含边界的阴影局部)是( )解析：=(1,),.设P(x,y),那么,即经分析，选A.答案：A9.设两个向量a=(+2,2-cos2)和b=(m,),其中,m,为实数,假设a=2b,那么的取值范围是( )A.-6,1 B.4,8 C.(-,1 D.-1,6解析：由a=(+2,2-cos2),b=(m,),a=2b,可得设代入方程组,可得消去m化简,得,再化简,得.再令代入上式,得(sin-1)2+(16t2+18t+2)=0,可得-(16t2+18t+2)0,4,解得
5、t-1,.因而-1,解得-6k1.答案：A10.ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于 A. B. C. D.解析：a、b、c成等差数列，2b=a+c.平方,得a2+c2=4b2-2ac.又ABC的面积为，B=30，故由，得ac=6.a2+c2=4b2-12.由余弦定理，得,解得.又b为边长,.答案：B11.在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边,.假设,且D、E、F三点共线该直该不过点O，那么ABC周长的最小值是 A. B. C. D.解析：由题意得a+b=1,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=
6、(a+b)2-3ab=1-3ab,c,因此ABC周长的最小值是.答案：C12.O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,(0,+),那么动点P的轨迹一定通过ABC的 解析：所给式子可化为,由于，表示垂直于的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上.故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.答案：D二、填空题本大题共4小题，每题5分，共20分13.假设=3e1,=-5e1,且，那么四边形ABCD是_.解析：=3e1,=-5e1,.故AB与CD平行.又,四边形ABCD为等腰梯形.答案：等腰梯形14.在ABC中,假设,，那么BAC=_.解析：,那么BAC90.SABC=bcsinBA
7、C,即c=3,b=5,sinBAC=.BAC=150.答案：15015.向量a=(cos,sin),b=(,-1)，那么|2a-b|的最大值是_.解析：2a-b=(2cos-,2sin+1),|2a-b|2=(2cos-)2+(2sin+1)2=8+4sin-4cos.|2a-b|max=4.答案：416.假设a2+b2=0,那么a=b=0；假设Ax1,y1),B(x2,y2),那么;a,b,c是三个非零向量，假设a+b=0,那么|ac|=|bc|;10,20,e1,e2是一组基底，a=1e1+2e2,那么a与e1不共线，a与e2也不共线；a与b共线ab=|a|b|._.解析：正确；,故错；正
8、确；正确；当a与b反向时，ab=|a|b|不成立，故错.答案：三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题总分值10分)向量a=(3，-4)，求：(1)与a平行的向量b；(2)与a垂直的向量c；(3)将a绕原点逆时针方向旋转45得到的向量e的坐标.解：(1)设b=a,那么|b|=1，b=(,)或b=(,).(2)由ac，a=(3,-4),可设c=(4,3),求得c=(,)或c=(,).(3)设e=(x,y),那么x2+y2=25.又ae=3x-4y=|a|e|cos45,即.由求得e=(,)或e=(,).而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45得到，故e=(,).18.(本小题总分值12分
9、)在ABC中,(1)求sinC的值;(2)设BC=5,求ABC的面积.解：(1)由,得,由,得.所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.(2)由正弦定理,得，所以ABC的面积S=BCACsinC.19.(本小题总分值12分)设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且acosB=3,bsinA=4.(1)求边长a;(2)假设ABC的面积S=10,求ABC的周长l.解：(1)由acosB=3与bsinA=4两式相除,得.又通过acosB=3,知cosB0,那么,.a=5.(2)由,得c=5.由,解得.所以.20.(本小题总分值12分)锐角ABC中，bsinB
10、-asinA=(b-c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.(1)求角A的大小;(2)求的取值范围.解：(1)由正弦定理,得b2-a2=(b-c)cb2+c2-a2=bc,所以.又A为三角形的内角,所以.(2)由(1),得,.因为ABC为锐角三角形，所以.所以.由,得,所以.所以的取值范围为，.21.(本小题总分值12分)向量a=，b=(,),0,.(1)求的最大值、最小值；2假设|ka+b|=|a-kb|(kR)，求k的取值范围.解：(1),|a+b|2=a2+b2+2ab=2+2cos2=4cos2,(0,).令t=cos,那么(t1),.故在,1上单调递增.,.(2)由|
11、ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,从而k2a2+b2+2kab=3(a2-2kab+k2b2).又|a|=|b|=1,k2+1+2kab=3(1+k2-2kab),从而有.由ab=cos2,0,得-ab1.1.由,得k=-1或k0.k=-1时,显然成立;当k0时,由.综上所述,k的取值范围是,-1.22.(本小题总分值12分)如图,OFQ的面积为S,且,(1)假设S2,求向量OF与FQ的夹角的取值范围;(2)设(c2),假设以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q，当取得最小值时,求此椭圆的方程.解：(1)由,得S2,所以1tan4.那么arctan4.(2)以O为原点,所在直线为x轴建立直角坐标系,设椭圆方程为(a0,b0),点Q的坐标为(x1,y1),.所以OFQ的面积为.所以.又由=(x1-c)c=1,解得.所以(c2).当且仅当c=2时,|OQ|最小,此时点Q的坐标为(,),由此可得所以椭圆方程为
