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1、课时规范练19正弦定理、余弦定理一、选择题1.已知在ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=c=,且A=75,则b等于()A.2B.4+2C.4-2D.答案:A解析:如图所示.在ABC中,由正弦定理得=4,b=2.故选A.2.在ABC中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若,则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:A解析:方法一:由正弦定理得,sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,A=B.方法二:由余弦定理将角化为边,可得a=b,故选A.来源:3.在ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c
2、,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A.B.C.D.答案:D解析:由(a2+c2-b2)tan B=ac及余弦定理得2accos Btan B=ac,sin B=.又0B0,则cos B=,故B=,sin B=.又3sin Asin C=sin2B=,来源:数理化网4sin Asin C=1,即2cos(A-C)-cos(A+C)=1,2cos(A-C)+cos B=1.cos(A-C)=0.又-A-C0,|=8=10,由于0A0,sin A=,SABC=|sin A=10=3,即ABC的面积为3.11.在ABC中,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,给出下列结论
3、:由已知条件,这个三角形被唯一确定;ABC一定是钝角三角形;sin Asin Bsin C=753;若b+c=8,则ABC的面积为.其中正确结论的序号是.答案:解析:由条件可设故不正确;由余弦定理可得cos A=-,即A=120,故正确;由正弦定理得sin Asin Bsin C=abc=753,故正确;当b+c=4k=8时,则k=2,故三角形三边分别为7,5,3,所以SABC=bcsin A=53sin 120=,故不正确.三、解答题12.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,求tan A的值.解:依题意及正弦定理可
4、得b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cos A=-.又0A,所以A=,tan A=tan =-.13.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b2+c2-a2)tan A=bc.(1)求角A;(2)若a=2,求ABC的面积S的最大值.解:(1)由已知得sin A=,又在锐角ABC中,所以A=60.来源:(2)因为a=2,A=60,所以b2+c2=bc+4,S=bcsin A=bc.而b2+c22bcbc+42bcbc4,又S=bcsin A=bc4=,所以ABC的面积S的最大值为.14.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=2+2cos(A+B).来
5、源:(1)求证:b=2a;(2)若c=a,求角C的大小.(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,即sin(A+-C)=2sin A-2sin Acos C,sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+C)=2sin A,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a.(2)解:由余弦定理知cos C=-,所以C=120.15.已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,b=2,B=.(1)求sin A的值;(2)求cos 2C的值.解:(1)a=1,b=
6、2,B=,依据正弦定理得,即,解得sin A=.(2)ab,0AB.cos A=.sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=.A+B+C=,C=-A.cos 2C=cos=cos cos 2A+sin sin 2A=-=-.cos 2C=-.四、选做题1.已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为()A.B.C.D.-答案:C解析:由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,利用倍角公式得,2cos2A-1+2cos2B-1=2(2cos2C-1),即cos2A+cos2B=2cos2
7、C,化简得sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理,得a2+b2=2c2,由余弦定理,得cos C=,当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为,选C.2.在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,=6cos C,则=.答案:4解析:=6cos C6abcos C=a2+b2,6ab=a2+b2,a2+b2=,=4.3.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x-,xR.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足c=,f(C)=0且sin B=2sin A,求a,b的值.解:(1)f(x)=sin 2x-=sin-1,则f(x)的最小值是-2,最小正周期是T=.(2)f(C)=sin-1=0,则sin-1=0,0C,02C2,所以-2C-,所以2C-,C=.因为sin B=2sin A,所以由正弦定理得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即c2=a2+b2-ab=3,由解得a=1,b=2.
