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1、1.3导数在研究函数中的应用(综合训练4)、学习要求能运用导数证明不等式。二、先学后讲利用导数证明不等式：一般地，证明不等式由万丽(xe(u,彷)成立，通常构造辅助函数F(x)=-g。)，转化为证明不等式|F(x)0成立。(1)根据不等式构造出一个函数F(x)=(2)求函数F的导数FQ)；(3)利用导数研究函数仍(外在其定义区间上的单调性、极值、最值；(4)借助函数|F(*)的单调性，比较函数F。)在其定义区间上的函数值与某点(区间端点、极值点、最值点)处的函数值的大小，从而使不等式得以证明。三、问题探究合作探究例1.当工/0时，证明不等式，1+工.证明：令/=乂声。，则f。当x。时，0,函数
2、，单调递增,.f(x)=ex-x-lf(p)=0,即+工；当尤f(0)-0,即/1+工，综上所述，当刀羊。时，不等式2*1+工成立。自主探究1 .证明下列不等式：(1)sinXV尤,冗)；(2)Jc-/O,XE(O,1)。证明：(1)令f(x)=SinM-M,工E(0,叮)，则当Xe(0,TT)时，0CQS元1,/(幻uo函数代工)在(0,7T)上单调递减，/(x)=sinx-xf(0)=0,即winx0,函数f。)单调递增，/(X)=1_/”0)=0,即X一，,0；当尤E(；,1)时，f(x)/(1)=0,即x-/ao；综上所述，当口E（0；1）时，不等式工成立。四、总结提升本节课你主要学习
3、了五、问题过关1 .证明不等式：2x3-jX10证明：令f（工）=2x-3 +- x贝U / (x) = 2-2x-l;当x 1时,函数走i单调递增,/。=六3+/1)=0,2x3,x1.x2。已知函数/（工）=/+2s（Q为常数）的图像与y轴交于点A,曲线y=r（M）在点A处的切线斜率为（I）求。的值及函数f的极值；（n）证明：当方o时，/+蜡。解：（I）/（X）=ejr+20Jc,/（x）=ex+2a0依题意，得/（0）=1+2u=-1,.a-1；./=/21/=/.2,令仆）=/-2=0,解得x=ln2,当尤ln2时，八工）h】2时，八工）0,函数/在（In2,+8）上单调递增，.当尤=
4、In2时，函数了。）取得极小值，极小值为/（In2）三2-加4,无极大值。证明：（H）令讥工）=第一，-1,%H0,则g（X）=-2工。由（I）得：g0）=f（.x）之/。2）=2-ln40,函数。（）在R上是增函数，.g（x）=ex-x2-1（0）=0,即/十10包成立,产-4(b+2)40，-Ab202 .若函数八为=，_(；/+4在(0.2)内单调递减，则实数应的取值范围为(A.+8)B.3C.(8.3|D.0,3)解：fx=x3-q/+4,f(m)=3工2ax=x(3x-2a),二函数f。)在(0.2)内单调递减，当，E(0,2)时，八工)=工(3-2o)50包成立，即“圣|工包成立；
5、3又当；VE(0,2)时，二丫3,之3。故选A。一一一111X,、r,一、，一、，一一3。求证：函数“切=-在区间(0,2)上是单调递增函数nx=1-Inx【证明】.fW=,.(#)二丁、乂X2.0x2,.lnx0,.1-Inx.，二一。，xhi,、_一、函数汽灯:在区间(0.2)上是单调递增函数.X/4。设f(4)=？，其中口为正实数.1+UT41(I)当。=a时，求f的极值点;口(H )若fx)为R上的单调函数，求的取值范围解： tw =K1 + axfW =/(q- - 2 ax + 1)(u? + l)24(I )当Q =-时，汽工)=3，f (x) =3/(4-8m + 3)(3 +
6、 4，)13令f=0,则4.，一8工+3=0，解得#=$,或=；,bJu1213弓2533号受)fw+10一)+fW递增刁及大值递减、极小值递增产当1变化时，f(x),/(无)随X的变化情况如下表102，一3一，-1.，.由表可知，汇=,是函数的极小值点；=万是函数的极大值点)dLr(II).U。)为月上的单调函数, 若f(x)为r上的单调递增函数,则r(x)o包成立,即&-2U工+130在R上恒成立。:Iq为正实数，即10, .A=4c？-4。E0,即4u(Q-1)0,0UWl。 .u的取值范围是(0.1|o5.已知函数f(x)x3ax2bxc,该函数图像在点x=1处的切线方程为l：3xy1
7、。若x23时，y=f(x)有极值。(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值。解：由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb,当x=1时，切线l的斜率为3,可得2a+b=0(1)当x2时，f(x)有极值，则f(-)033可得4a+3b+4=0(2)由(1)(2)解得a=2,b=4.由于切点的横坐标为x=1,因此f(1)=4.所以1+a+b+c=4.所以c=5。所以a=2,b=-4,c=5。(2)由(1)可知f(x)x32x24x5,所以f(x)3x24x402令f(x)0,得x2,x2.3当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(3,2)-
8、22(2,3)232号1)1f(x)+0-0+f(x)8增13减9527增4因此，y=f(x)在3,1上的最大值为13,最小值为15。尊敬的读者:本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomissions,pleasecorrectthem.Ihopethisarticlecansolveyourdoubtsandarouseyourthinking.Partofthetextbytheuserscareandsupport,thankyouhere!Ihopetomakeprogressandgrowwithyouinthefuture.
