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1、第三章差分方程方法在实际问题中，许多事物所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型 也是离散的，比如政治、经济和社会等领域中的实际问题。很多时候，即使所建 立的数学模型是连续形式，例如象常见的微分方程模型、积分方程模型等，但是 往往因为不能求解析解，而需要用计算机求数值解。这要求将连续变量在一定的 条件下进行离散化，从而将连续模型转化为离散模型，最后归结为求离散形式的 差分方程的问题。关于差分方程研究和求解方法在建立数学模型、解决实际问题 的过程中起着重要的作用。3.1差分方程和常系数线性差分方程3.1.1差分和差分方程的概念定义3.1设函数y = f，记为八.当X取遍所有的非负整数时，函数
2、值可以排成一个数列：y , y , y ,A , y ,A .则差y - y称为函数y的差 0 12xx+1 xx分，也称为一阶差分，记为Ay ,即Z = y - y .容易验证差分具有如下性质： A(cy ) = cAy ；(2) A (y + z ) = Ay + Az .又A(Ay ) = Ay -Ay = (y y )-(y y )xx+1x x+2 x+1x+1 x= yx+2 2yx+1 +yx ：=A2 yx称为函数yx的二价差分，类似地，可以定义三阶、四阶差分.定义2.2含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程，如F (x, y , y , y ,A ,
3、 y ) = 0；x x+1 x + 2x + nG(x, yx, yx1, yx2,A , y*_) = 0；H(x, y ,Ay ,A2y ,A ,Any ) = 0.XXXX差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为此差分方程的阶.如果差分方程中关于未知函数及未知函数的各阶差分都是线性函数, 就称此方程为线性的.如果一个函数代入差分方程后，方程恒成立, 则这个函数称为该差分方程的解.3.1.2常系数齐次线性差分方程考虑常系数k阶线性差分方程y + a y + a y +A + a y = 0 -(3.1)n 1 n-12 n - 2k n - k称代数方程Xk + a Xk -1 + A+
4、 a 人 + a 0 .(3.2)为方程(3.1)的特征方程，特征方程的根称为特征根.常系数线性差分方程的解可根据相应的特征根的情况给出.下面 分别由特征根为单根、重根和复根的情况写出差分方程的解的情况。1. 单根的情况设特征方程(3.2)有k个相异的特征根人,人,A ,人，则差分方程12k(3.1)的通解为y c 人 n + c 人 n +A + c 人 n, n 1 12 2k k其中c ,c ,A ,c为任意的常数.12 k2. 重根的情况设特征方程(3.2)有/个相异重根人,人,A ,人(1 I 0 , kok, k , k g R 时，通解为 y = c k n + c k n ;1
5、212n 112 2当 a 2 - 4b = 0 , k =-a 时，通解为 y = (c + cn)(-a)n ;1,22n 12 八 2当 a 2 - 4b + ay +by = cqn (c,q 1)-n+2n+1 n当仃+四+队0时，特解为y= CW 一；n q+aq + b(ii)当q2 + aq + b = 0 ,且2q + m0时，特解为y* =竺兰； 1q + a(iii)当仃+四+ 8 = 0,且2q + o = 0时，特解为y* =竺空. 4q + a(6) y + ay +by = crim+2n+1 n可设方程有特解y* = (8 + B n +L + B nm),其中
6、B ,B ,L ,B侍定； n01m01m士 l + i + Z?。时，s = 0； 士l + 3 + Z? = 0, 且2 时，s = l； 士l + 3 + Z? = 0,且。=-2时，s = 2 .将这个特解代入方程，比较两端同次项系数来确 定 B (i = 0,1,L , m).i3.2差分方程的平衡点及其稳定性3.2.1 一阶常系数线性差分方程考虑一阶常系数线性差分方程y + ay = b,(3.4)当a -1时，方程(3.4)的平衡点y*可由代数方程x + ax = b求得，即* by =曲.如果lim y = y*,则称平衡点y*为稳定的，否则就是不稳定的.ns方程(3.4)的稳
7、定性问题可通过变换(x尸yn - y* )转化为齐次差 分方程xbax广0的平衡点x* = 0的稳定性问题.而由差分方程 % +ax广0的解x广(-a)nx0可知，其平衡点x* = 0是稳定的充要条件为 | a lv 1.因此，方程(3.4)的平衡点y*是稳定的充要条件为| a lv 1.3.2.2 一阶常系数线性差分方程组考虑一阶常系数线性齐次差分方程组y(k +1) + Ay(k) = 0, k = 0,1,A ,(3.5)其中y(k)为n维向量，A为nx n阶常值方阵.它的平衡点为y * = 0 .方程(3.5)的平衡点y* = 0是稳定的充分必要条件是A的所有特 征根的绝对值小于1,即
8、|人i | 1 (i = 1,2, A , n ).对于一阶常系数线性非齐次差分方程组y (k +1) + Ay (k) = B,k = 0,1, A这里，B为n维向量.其平衡点由线性方程组y + Ay = B给出，平衡 点的稳定性同样为A的所有特征根的绝对值小于1.3.2.3二阶常系数线性差分方程考虑二阶常系数齐次线性差分方程y + a y + a y = 0, k = 0,1,2,A - n+21 n+12 n其中,a2为常数，其的平衡点x* = 0是稳定的充分必要条件是它的特 征方程人 2 + a人 + a - 0的根满足|七| 1 (/ -1,2 ).对于二阶常系数非齐次线性差分方程
9、y + ay + a y - b (k - 0,1,2, A ),其平衡点的稳定性有相同的结果. n+21 n+12 n3.2.4 一阶非线性差分方程考虑一阶非线性差分方程yg - f (y) -(3.6)它的平衡点y *由方程y-f ( y)求得.方程(3.6)的近似线性方程为yn+1 - f(y*)(yn - y*) + f (y*) .(3.7)由于y*也是方程(3.7)的平衡点，因此它们的平衡点有相同的 稳定性，即方程(3.6)平衡点y*是稳定的充要条件为| f，(y*)| 1 .3.3连续模型的差分方法3.3.1微分的差分方法假设已知函数f (x)在区间a,b上的分点 a - x0
10、x1 x2 A x 1 - b的函数值，下面我们来用差商代替该函数在区间内分点的函数微商.1. 向前差分f，(x )牝 f(*们 i) fk , k - 1,2,A ,n ;kXk+1 - k2. 向后差分f x )牝_k 1), k = 1,2,A ,n ;kTX _13. 中心差分f r( x )牝 f，Xk + 1)fk 1), k = 1,2,A ,n .kXk+1 - Xk-1如果把区间a,b分为n等分，步长h =壬，分点 nxk = a + kh (k = 0,1,A ,n),我们也常常用二阶差商代替二阶微商：f x )。f (Xk+1)一2f (Xk)+ f (k-1), k =
11、 1,2,A ,n.kh 23.3.2定积分的差分方法在这里，讨论定积分的近似计算问题.设函数f (X)在区间a,b 上连续，把区间a,b分为n等分，分点x广a + kh(k = 0,1,A ,n),步长 h = b-a .在小区间x , x 上任取点& ( k = 1,2, A , n ),根据定积分的 nk k +1k定义可得，b f (x)d x = lim _a f (E ).an3 n , . kk =1因此，我们有如下的求积公式.(1) 矩形公式Jbf (x)d x 牝 f (xk 1)； ak=1Jbf (x)d x 牝 - f (xk)-ak =1(2)复化矩形公式J bf (x)d x 注f (xki + xk). an k=2(3)梯形公式Jbf (x)d x - 2n E f (xk 1) + f *)=| f (a) + f (b) + 习 f (xk)k=1(4)抛物线公式Jb f (x)d x 总a绊习f (气)+ 4 f (
