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1、2022年高中物理第三章万有引力定律第3节万有引力定律的应用教学案教科版必修21.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间，推算出未知天体的轨道。2利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg，可以计算出地球的质量。3利用万有引力提供向心力，可以计算中心天体的质量。利用MR3，可以计算中心天体的平均密度。一、预言彗星回归1哈雷根据万有引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。21743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间。3总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近
2、地球的时间，并且经过验证都是正确的。二、预言未知星体1英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星海王星。21930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。三、计算天体质量1测量地球的质量若不考虑地球的自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。即有mgG，所以地球质量为M。2计算太阳的质量(1)基本思路：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。测量出环绕周期T和环绕半径r。(2)
3、公式：Gmr，由此可得太阳质量mS。1自主思考判一判(1)利用万有引力理论，可以预言哈雷彗星再次出现的时间。()(2)天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在，后观测发现的行星。()(3)天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。()(4)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。()(5)只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离，就能计算出太阳的质量。()2合作探究议一议(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？提示：能。若用G表示重力，设自身质量为m，则重力加速度g，故M，所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。(2)若已知月球绕地球转
4、动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图331提示：能求出地球的质量。利用Gm2r求出的质量M为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。天体质量和密度的计算1天体质量的计算(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mgG，解得天体质量为M，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：GmMGm2rMGm2rM2天体密度的计算若天体的
5、半径为R，则天体的密度。将M代入上式得：。特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。典例我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为，如图332所示。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为()图332A.B.C. D.思路点拨利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度。解析根据平抛运动规律有MNsin ，MNcos v0t，两式相比得
6、月球表面的重力加速度g，月球对物体的万有引力等于物体的重力，有mg，月球的密度，解得，C正确。答案C(1)计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。(2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有rR。1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为(弧度)，如图333所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为()图333A. B.C. D.解析：选A根据弧长及对应的圆心角，
7、可得“嫦娥三号”的轨道半径r，根据转过的角度和时间，可得，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得Gm2r，由以上三式可得M，A正确。2假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？解析：(1)由万有引力提供卫星的向心力有Gm2R，根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为。(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有Gm(Rh)，M，。答案：(1)(2)天体运动的分
8、析与计算1基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。2常用关系(1)Gmamm2rmr。(2)忽略自转时，mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。3四个重要结论设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Gm得v ，r越大，v越小。(2)由Gm2r得，r越大，越小。(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大。(4)由Gma向得a向，r越大，a向越小。典例据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母
9、星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的()A轨道半径之比约为 B轨道半径之比约为 C向心加速度之比约为 D向心加速度之比约为 思路点拨(1)“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。(2)绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。解析由公式Gm2r，可得通式r，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则，从而判断A错，B对；再由Gma得通式aG，则 ，所以C、D皆错。答案B(1)分析该类问题的关键是
10、抓住“万有引力提供向心力”这一主线。(2)定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图334所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是()图334A火星运行速度较大B火星运行角速度较大C火星运行周期较大D火星运行的向心加速度较大解析：选C根据万有引力提供向心力Gmm2rmrma，得v，T2 ，a，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A
11、、B、D错误。2已知地球半径R6.4106 m，地面附近重力加速度g9.8 m/s2，计算在距离地面高为h2.0106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。解析：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即Gm。知v。由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，即Gmg，得GMgR2。由两式可得v 6.4106 m/s6.9103 m/s。运动周期T s7.6103 s。答案：6.9103 m/s7.6103 s宇宙双星问题1宇宙双星：相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星。2双星特点(1)两颗恒星的向心力大小相等，都是由相
12、互作用的万有引力提供。(2)两颗恒星的角速度、周期相同。典例宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L。求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比；(3)双星的运动周期。思路点拨处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力，但需充分利用双星模型的特点，并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。解析如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有Gm1R1Gm2R2(1)由两式相除，得。(2)因为v，所以。(3)将式消去“m1”，式消去“m2”
13、后相加得(R1R2)又由几何关系知R1R2L所以由两式可得T2 。答案(1)(2)(3)2 双星模型的两个重要结论(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1r2m2m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近。(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1m2)有关，即T2 。1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图335所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间
14、的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为32，则()图335A它们的角速度大小之比为23B它们的线速度大小之比为32C它们的质量之比为32D它们的周期之比为23解析：选B双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；由Gm12r1，Gm22r2，解得m1m2r2r123，C错误。由vr知，v1v2r1r232，B正确。2两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。解析：设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得： 对M1：GM12l1，所以M2；对M2：GM22l2，所以M1；而Rl1l2，所以，两星的质量之和：MM1M2。答案：1下列说法正确的是()A海王星是人们直
